Anneau local, point générique ...
Réponses
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J'ai l'impression que tout est local, donc tu serais ramené à l'énoncé suivant: soit $R$ un anneau local noethérien sans idéaux premiers autre que son idéal maximal, alors $R$ est artinien.
On montre facilement que l'idéal maximal est nilpotent à partir de ça, puisqu'il est alors égal à l'intersection des idéaux premiers. -
Je n'ai pas compris ta deuxième phrase, tu veux dire, quand on admet cet énoncé "soit R un anneau local noethérien sans idéaux premiers autre que son idéal maximal, alors R est artinien",
alors on peut montrer que mon idéal maximal dans mon énoncé de base est nilpotent c'est ça ? -
Je crois bien. Je ne suis pas du tout expert en géométrie algébrique ou quoi, mais ton énoncé me semble totalement local, donc on peut se ramener à un voisinage affine de ton point générique (dans lequel ton point est toujours générique).
Ce voisinage affine il est de la forme $Spec(R)$ pour un anneau $R$ qui est noethérien (car ton schéma l'est); et ton point $\mathfrak p$ étant générique, il est contenu dans tous les idéaux premiers de $R$ (l'adhérence de $\{\mathfrak p\}$ est bien $V(\mathfrak p)$), donc $R_\mathfrak p$ est un anneau : local, noethérien, et qui ne contient aucun idéal premier à part $\mathfrak p R_\mathfrak p$, son idéal maximal. Coup de chance, c'est aussi l'anneau local de $Spec(R)$ en $\mathfrak p$. -
Oui d'accord je vois! Et oui je pense que ça répond à ce que je voulais Merci!
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