Idéaux de Mn(R)
Bonjour,
Ayant vu la notion d'idéal dans un complément de mon livre, je cherche à me familiariser avec cette notion.
Pour $1 \leq i,j \leq n$ on note $E_{ij}$ la matrice élémentaire ayant tous ses coefficients nuls, sauf le coefficient de la i-ème ligne et de la j-ième colonne qui vaut $1$.
1)Rappeler la formule donnant $E_{ij} E_{kl}$
On a $E_{ij} E_{kl}=\delta_{jk} E_{il}$
2) Soit $M=(a_{ij}) \in \mathcal M_n(\R)$. Que vaut $E_{ij} M$ et $M E_{kl}$ ?
Soient $(u,v) \in [|1,n|]^2$. On a $[E_{ij}M]_{uv} = \displaystyle\sum_{k=1}^n [E_{ij}]_{uk} [M]_{kv} \\
= \displaystyle\sum_{k=1}^n \delta_{iu} \delta_{jk} a_k v \\
= \boxed{\delta_{iu} a_{jv}}$
De même je trouve $\boxed{[M E_{kl}]_{uv} =a_{uk} \delta_{lv}}$
3) Démontrer que les seuls idéaux de $\mathcal M_n(\R)$ sont $\{0 \}$ et $\mathcal M_n(\R)$
Il est clair que $\mathcal M_n(\R)$ sont $\{0 \}$ sont des idéaux de $\mathcal M_n(\R)$. Réciproquement, soit $I$ un idéal de $\mathcal M_n(\R)$ alors :
1) $\forall M,M' \in I$, on a $M-M' \in I$
2) $\forall M \in \mathcal M_n(\R), \ \forall P \in I ,$ on a $MP \in I$ et $PM \in I$
Mais je ne vois pas comment avancer.
Ayant vu la notion d'idéal dans un complément de mon livre, je cherche à me familiariser avec cette notion.
Pour $1 \leq i,j \leq n$ on note $E_{ij}$ la matrice élémentaire ayant tous ses coefficients nuls, sauf le coefficient de la i-ème ligne et de la j-ième colonne qui vaut $1$.
1)Rappeler la formule donnant $E_{ij} E_{kl}$
On a $E_{ij} E_{kl}=\delta_{jk} E_{il}$
2) Soit $M=(a_{ij}) \in \mathcal M_n(\R)$. Que vaut $E_{ij} M$ et $M E_{kl}$ ?
Soient $(u,v) \in [|1,n|]^2$. On a $[E_{ij}M]_{uv} = \displaystyle\sum_{k=1}^n [E_{ij}]_{uk} [M]_{kv} \\
= \displaystyle\sum_{k=1}^n \delta_{iu} \delta_{jk} a_k v \\
= \boxed{\delta_{iu} a_{jv}}$
De même je trouve $\boxed{[M E_{kl}]_{uv} =a_{uk} \delta_{lv}}$
3) Démontrer que les seuls idéaux de $\mathcal M_n(\R)$ sont $\{0 \}$ et $\mathcal M_n(\R)$
Il est clair que $\mathcal M_n(\R)$ sont $\{0 \}$ sont des idéaux de $\mathcal M_n(\R)$. Réciproquement, soit $I$ un idéal de $\mathcal M_n(\R)$ alors :
1) $\forall M,M' \in I$, on a $M-M' \in I$
2) $\forall M \in \mathcal M_n(\R), \ \forall P \in I ,$ on a $MP \in I$ et $PM \in I$
Mais je ne vois pas comment avancer.
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Réponses
Tu crois vraiment qu'on l'a posée comme ça, sans raison ? C'est quand même un réflexe élémentaire quand on fait un problème en plusieurs questions ...
J'ai corrigé mon erreur à la question 1.
J'ai maintes fois répété à mes élèves le théorème fondamental des mathématiques:
La question $n+1$ vient après la question $n$, et ne n'est pas pour rien.
Cordialement,
Rescassol
Essaie avec un exemple NUMERIQUE en dimension 3 si tu sais pas...
De toute façon, il y a peu de chances que tu arrives à faire cet exercice si tu n'as pas la moindre idée de comment travailler avec des idéaux.
Tu dis que tu n'y arrives pas parce que tu ne connais pas $I$... mais c'est en fait parce que tu ne connais pas les méthodes usuelles d'algèbre !
C'est un peu comme avec les groupes ou les espaces vectoriels : on va plutôt essayer de prouver que lorsqu'il n'est pas réduit à $\{0\}$ l'idéal contient une famille de matrices permettant d'engendrer (en un sens que je te laisse découvrir) tout $M_n(\K)$.
Je trouve $\boxed{E_{ij} M = \displaystyle\sum_{m=1}^n E_{im} a_{jm}}$ et $\boxed{M E_{kl}= \displaystyle\sum_{p=1}^n E_{pl} a_{pk}}$
@Bisam
Soit $I$ un idéal de $\mathcal M_n(\R)$ non réduit à $\{0\}$.
Soit $M=(a_{ij}) \ne 0$ un élément de $I$.
ll existe donc un $(i_0,j_0) \in [|1,n|]^2$ tel que $a_{i_0,j_0} \ne 0$
Je bloque ici. Je ne vois pas comment utiliser ce qui précède.
ESSAIE AVEC UN EXEMPLE NUMERIQUE
A chacune de tes interrogations, j'ai envie de dire comme à un de mes élèves : "pour toi, tel objet, c'est quoi ? Comment te le représentes-tu ?"
Ici, le point clé, ce sont sans doute les multiplications matricielles.
Peut-on isoler un élément d'une matrice par une multiplication matricielle ? Comment ?
Peut-on déplacer un élément d'une matrice par une multiplication matricielle ? Comment ?
Que peut-on tirer de ces deux informations lorsque l'on a affaire à un idéal de l'anneau des matrices carrées ?
$E_{13}M= \begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $
La première ligne est la 3ème ligne de $M$ et les autres sont nulles.
$M E_{13}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & a_{11} \\ 0 & 0 & a_{21} \\ 0 & 0 & a_{31} \end{pmatrix} $
La troisième colonne est la 1ère colonne de $M$ et les autres sont nulles.
Mais je ne vois pas à quoi ça sert de savoir ça.
@Bisam
Je ne sais pas répondre à la dernière question.
Soit $I$ un idéal de $M_n(\R)$ qui n'est pas réduit à $\{0\}$.
Soit $M$ une matrice de $I$ qui n'est pas la matrice nulle.
Soit $i_0$ et $j_0$ deux entiers entre $1$ et $n$ tels que $[M]_{i_0,j_0}\neq 0$.
Maintenant on prend un cas simple. Imaginons que tu as une matrice M non nulle dans I. Imaginons pour simplifier qu'un de ses coefficients $m_{ij}$ vaut 1
Peux tu montrer que $E_{1,1}$ est dans I? Puis $E_{i,j}$ ? Puis $\lambda E_{i,j}$?
Conclusion?
C’est dommage que tu n’aies pas compris le message de bisam. Et je sais que tu préfèreras le message suivant...
Sûrement. Malgré les indications supplémentaires, j'ai eu des difficultés à trouver la solution, j'y ai passé une heure.
L'exemple de Noobey avec que des $1$ dans la matrice m'a aidé à comprendre.
Sur la fiche d'exercice, il y avait écrit "assez facile" donc j'ai voulu tenter mais il n'est pas si simple je trouve.
@Bisam
Ok merci.
@Noobey
Je trouve que si $M \in I$ de la forme que tu donnes et $E_{ij} \in \mathcal M_n(\K)$ alors $E_{ij} M E_{ij} = E_{ij}$
Comme $I$ est un idéal, $E_{ij} M \in I$ et aussi $ E_{ij} M E_{ij} \in I$ donc $E_{ij} \in I$.
Maintenant si je me place dans le cas d'une matrice $M$ non nulle telle que $a_{i_0,j_0} \ne 0$.
J'ai réussi en représentant les matrices, je trouve que $E_{i,i_0} M E_{ j_0,j} = a_{i_0 j_0} E_{ij}$
Donc $\dfrac{1}{a_{i_0 j_0}} E_{i,i_0} M E_{j_0,j} = E_{ij}$. Ainsi $E_{ij} \in I$.
Comme $I$ est un idéal, et que $\lambda E_{ij} = \lambda I_n E_{i,j}$, on a $Vect \{ (E_{ij})_{1 \leq i,j \leq n} \} = \mathcal M_n(\R) \in I$.
Or $I$ est un sous-anneau de $\mathcal M_n(\R)$ donc $I \subset \mathcal M_n(\R)$
Conclusion :
Si $I \ne \{0\}$ alors $\boxed{I = \mathcal M_n(\R)}$
On a $E_{i,i_0} M E_{j_0,j} = \displaystyle\sum_{l=1}^n a_{i_0,l} E_{i,l} E_{j_0,j} \\
= \displaystyle\sum_{l=1}^n a_{i_0,l} E_{i,j} \delta_{l,j_0} \\
= \boxed{a_{i_0,j_0} E_{i,j}}$