Suite exacte dans une catégorie abélienne

Bonjour tout le monde, je vous présente mon problème. Soit $\mathcal C$ une catégorie abélienne et $A,B\in \mathcal C$. Je note $A\oplus B$ leur biproduit et $\iota_A:A\to A\oplus B$, $\pi_A:A\oplus B\to A$ (resp. $\iota_B:B\to A\oplus B$, $\pi_B:A\oplus B\to B$) les flèches canoniques. Je veux montrer que la suite:
$$
0\to A\xrightarrow{\iota_A} A\oplus B\xrightarrow{\pi_B} B\to 0

$$ est exacte.

Voici où j'en suis. On sait par construction que $\iota_A$ est un mono et que $\pi_B$ est un épi. Il reste donc à montrer que $$Im(\iota_A):=\ker\big(\mathrm{coker}(\iota_A)\big)=\ker(\pi_B).
$$ Comme $\mathcal C$ est abélienne et que $\iota_A$ est un mono, on sait que le couple $(A,\iota_A)$ est l'image de $\iota_A$. Je veux alors montrer que $(A,\iota_A)$ est le noyau de $\pi_B$. Par construction, on a $\pi_B\circ \iota_A=0$. Ensuite, soit $T\in \mathcal C$ et $\alpha:T\to A\oplus B$ tel que $\pi_B\circ \alpha=0$. Je note $\big(\mathrm{coker}(\iota_A),c:A\oplus B\to \mathrm{coker}(\iota_A)\big)$ le conoyau de $\iota_A$. Comme $\pi_B\circ \iota_A=0$, il existe un unique $\gamma:\mathrm{coker}(\iota_A)\to B$ tel que $\gamma\circ c=\pi_B$ (je joins une photo du diagramme). À partir de là, j'aurais aimé montrer que $c\circ \alpha=0$, ce qui me donnerait l'existence et l'unicité de $\beta:T\to A$ faisant commuter le diagramme. Je pensais utiliser l'application $\gamma$... Cependant, je n'arrive pas à montrer cette égalité. Est-ce-que je me trompe de direction ?

Merci beaucoup pour votre aide !