Sous-groupe engendré
Bonsoir
Soit $G$ un groupe multiplicatif et $G'$ le sous-groupe engendré par les éléments de la forme $xyx^{-1}y^{-1}$.
Si $H$ est un sous-groupe de $G$, montrer que $G'$ est un sous-groupe de $H$ si et seulement si $\forall x \in G' ,\ xHx^{-1}=H$ et $\forall (x,y) \in G' ^2 ,\ Hxy=Hyx$.
Je ne suis pas sûr du terme "le sous-groupe engendré par les éléments de la forme $xyx^{-1}y^{-1}$". Cela veut dire que $G'=\{xyx^{-1}y^{-1} \mid (x,y) \in G^2 \}$ ?
Soit $G$ un groupe multiplicatif et $G'$ le sous-groupe engendré par les éléments de la forme $xyx^{-1}y^{-1}$.
Si $H$ est un sous-groupe de $G$, montrer que $G'$ est un sous-groupe de $H$ si et seulement si $\forall x \in G' ,\ xHx^{-1}=H$ et $\forall (x,y) \in G' ^2 ,\ Hxy=Hyx$.
Je ne suis pas sûr du terme "le sous-groupe engendré par les éléments de la forme $xyx^{-1}y^{-1}$". Cela veut dire que $G'=\{xyx^{-1}y^{-1} \mid (x,y) \in G^2 \}$ ?
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Réponses
Par exemple dans $(R,+)$, {1} n'est pas un groupe mais le sous groupe engendré par {1} est ...
Tu peux écrire aussi $<P> = \{ x_1^{a_1}...x_n^{a_n} , a_i \in \{ 1, -1\},\ x_i \in P ,\ n\in \mathbb{N} \}$
Ton énoncé est bizarre. Par hypothèse $G'$est un sous-groupe de $G$ engendré par ...
Et après tu demandes de prouver une CNS pour que $G'$ soit un sous-groupe de $G$ ??
Alain
Oui je trouvais l'énoncé bizarre.
@Noobey
Ok merci je pense que la réponse est $\Z$.
AD te demandait implicitement de vérifier que tu avais bien lu et recopié l'énoncé.
Tel que tu l'as écrit, l'énoncé semble faux.
Donne-nous le véritable énoncé.
J’ose une sournoiserie cependant : il est dit « sous-groupe engendré par ». On aurait pu dire « groupe engendré par » (en admettant qu’il s’agit de la loi de $G$) et « démontrer que c’est un sous-groupe de $G$ ».
Mais c’est juste pour embrouiller tout le monde :-)
OShine,
Commence par te lancer dans un sens : soit bidule, soit machin tel que ...
On a $xy x^{-1}y^{-1} \in G$ et $(xy x^{-1}y^{-1})^{-1}=yx y^{-1}x^{-1} \in G$
Mais je ne vois pas comment trouver tous les éléments.
Une remarque : n’est-ce pas plutôt $G’$ à la place de $G$ ? dans ton dernier message.
Supposes que $G'$ est un sous groupe de $H$. Démontres que $\forall x \in G' ,\ xHx^{-1}\subset H$ puis $\forall x \in G' ,\ H\subset xHx^{-1}$.
Ça ne devrait pas te poser trop de problèmes... normalement.
Cordialement.
@gerard0 effectivement, mais OShine ne fait pas des math juste pour faire des math, son but est d'obtenir l'agrég ou je ne sais quoi. Une fois qu'il aura obtenu ce qu'il veut (s'il y arrive) alors il pourra jeter tout ça à la poubelle...8-)
C’est le cours qu’il doit comprendre en profondeur. Et quand il fait une démonstration, il doit arrêter d’avancer la tête dans le guidon!
Raoul.S passera comme chacun de nous à son tour quelques mois à "aider" puis finira par comprendre que OS ne produit pas des maths, mais des copies de corrigés d'exercices.
Cordialement
Avant, sur "îles de math", c'est exactement ce qu'on disait mais en remplaçant le mot Agreg par Capes.
Il a fini par l'avoir. (:D
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
... sauf les hypothèses qui sont pourtant suffisantes :-D
Dans les cours que j'ai lu sur le net, on par de sous-groupe engendré par une partie.. Je ne vois pas le lien.
Ok merci @Raoul.S
$H$ est un sous-groupe de $G$, donc $H$ est un groupe.
$G'$ est un sous-groupe de $H$ donc $G' \subset H$.
Soit $z \in H$, comme $x \in H$ alors $xzx^{-1} \in H$ car $H$ est un groupe (stabilité de la loi).
Soit $z \in H$ on a $z=1 z 1^{-1} \in x H x^{-1}$ car $1$ est le neutre de $H$.
On a montré que si $G'$ est une sous-groupe de $H$ alors $\forall x \in G'$ $xHx^{-1}=H$.
Montrons à présent que $\forall (x,y) \in G' ^2 \ Hxy=Hyx$
Montrons que $Hxy \subset Hyx$ et que $Hyx \subset Hxy$
Soit $(x,y) \in G' ^2$
Soit $u \in Hxy$ alors $u = z xy$ avec $z \in H$
Et là je bloque.
> $H$ est un sous-groupe de $G$, donc $H$ est un groupe.
> $G'$ est un sous-groupe de $H$ donc $G' \subset H$.
>
> Soit $z \in H$, comme $x \in H$ alors $xzx^{-1} \in H$ car $H$ est un groupe (stabilité de la loi).
> Soit $z \in H$ on a $z=1 z 1^{-1} \in x H x^{-1}$ car $1$ est le neutre de $H$.
Si les quantificateurs existent c'est qu'il y a une raison... Tu es hors sujet pour la 2e partie.
Arrête de "bloquer" sans arrêt. Tu ne peux pas dire ce qu'il faut montrer, ce vers quoi on veut arriver?
Écrire « alors u=ab avec a réel » par exemple ce n’est déjà pas clair.
C’est « alors il existe » ou peut-être « alors quel que soit » mais pas un truc comme ça.
Quelques mois à "aider" ??? ::o Heu heu heu non. J'ai déjà très bien compris à quoi m'attendre avec OShine raison pour laquelle je ne l'aide que de façon ponctuelle... lorsque je m'ennuie en fait.
@OShine ce passage "Soit $z \in H$, $z=1 z 1^{-1} \in x H x^{-1}$ car..." ne démontre pas ce qu'on veut.
Soit $x \in G'$. Montrons que $H \subset xHx^{-1}$
Dans un groupe la loi est associative donc : $\forall z \in H \ z=x(x^{-1} z x) x^{-1}$. Or $x \in H$ donc $x^{-1} \in H$. Comme $H$ est un groupe, on en déduit $x^{-1} z x \in H$.
Donc $\forall z \in H \ z \in xHx^{-1}$ ce qui montre que $\boxed{H \subset xHx^{-1}}$
Je réfléchis à l'autre égalité.
Eh bien la partie en question c'est $\{xyx^{-1}y^{-1} \mid x, y \in G\}$ fais un effort !
Ok merci.
@Raoul.S
Soient $(x,y) \in G' ^2$. Montrons que $Hxy \subset Hyx$.
Soit $u \in Hxy$ alors il existe $z \in H$ tel que $u=zxy$
J'ai du mal à voir comment transformer le $yx$ en $xy$. Je ne trouve pas l'idée.
Et : $u=z xy = z xy (yx)^{-1} (yx) = z ( x y x^{-1} y^{-1} ) yx \in H yx$ car $ x y x^{-1} y^{-1} \in H$ et $z \in H$
Je ne comprends pas à quoi sert le sous-groupe engendré par $G'$. Je ne l'utilise pas.
Pour l'autre inclusion. Montrons que $\forall (x,y) \in G' ^2 \ Hyx \subset Hxy$
Soient $(x,y) \in G' ^2$. Soit $u \in Hyx$ alors $\exists z \in H$ tel que $u=zyx$
Mais $u=z yx (xy)^{-1} xy = (zyxy^{-1} x^{-1}) xy \in Hxy$
Réciproque :
$H$ est un sous-groupe de $G$.
Supposons que $\forall x \in G' \ xHx^{-1}=H$ et $\forall (x,y) \in G' ^2 \ Hyx = Hxy$
Montrons que $G'$ est un sous-groupe de $H$.
Franchement je suis perdu avec ce post ou alors avec ce que tu veux faire.
En effet quand je lis l'énoncé G' est un sous-groupe de G.
Alors je ne comprends pas pourquoi tu veux montrer que si a et b sont dans G' alors ab est dans G'.
De même tu dis plus haut G' est non vide. Et bien oui mais à quoi ça sert.
De plus tu ajoutes "En effet, G est un groupe et donc non vide."
Alors perso ça n'arrange rien à la compréhension.
Si tu veux de l'aide commence avoir la politesse d'éclaircir le problème.
Où en est on ? C'est quoi les hypothèses ? Et que veut-on démontrer ?
Toutes les hypothèses et ce qu'il faut montrer est écrit dans mon message plus haut dans la réciproque.
@Bisam
Ok merci je vais chercher dans ce sens.
Tu ne tiens pas compte de ce que je dis, c'est de la moquerie.
Tu as la paresse de ne pas mettre les points sur les i de sorte qu'il faut qu'on recherche et devine où tu en es.
Je veux montrer que si $\forall x \in G' \ xHx^{-1}=H$ et $\forall (x,y) \in G' ^2 \ Hxy=Hyx$ alors $G'$ est un sous-groupe de $H$.
D'après l'indication de Bisam il suffit de montrer que $G' \subset H$.
Mais je ne trouve pas comment faire.
Mais alors c'est parce que on a que G' est un sous groupe en hypothèse?
Si effectivement c'est le cas, ce qui te gêne c'est peut- être parce que tu ne sais pas ce qu'est un sous-groupe engendré par une partie?
C'est le plus petit des sous-groupes qui contient $P$.
On a $\boxed{G' =\, <P>}$
Si on montre que $\forall x,y \in G ,\ xyx^{-1}y^{-1} \in H$ car alors on aurait $P \subset H$ et donc $<P>\,=G' \subset H$ car $G'$ est le plus petit contenant $H$.
Du coup je vais chercher à montrer que $\forall x,y \in G, \ xyx^{-1}y^{-1} \in H$ .
Si l'on prend un groupe diédral $D_n$, avec $n$ impair non premier (disons 15), son sous groupe dérivé est $\Z_n$, qui contient un $\Z_p$ non trivial, qui vérifie évidemment les deux conditions vu que le sous groupe dérivé est abélien.
On peut aussi prendre $n$ pair, avec $n=2ab$ avec $(a,b)=1$, $a>b>1$
@OShine tu es sûr que ton énoncé est correct ?
Je vais arrêter de prendre des exercices de l'officiel de la taupe il y a souvent des erreurs.
C'est $H$ contient $G'$ ssi $H$ est normal et $G/H$ abélien. Autrement dit dans ta condition tu remplaces $G'$ par $G$.
Le résultat est trivial car $G'$ est normal et donne un quotient abélien.
C'est un oral de niveau MP de Mines Ponts.
Remplace $G'$ par $G$ dans les conditions 1 et 2 de ton énoncé.
La condition 1 s'appelle être normal, la condition 2 s'appelle "donner un quotient abélien".
Mais y a pas besoin de le savoir. Avec cet énoncé, l'exercice est trivial.