L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Inégalité des moyennes
dans Algèbre
Bonjour,
J'ai déniché dans un vieux livre une preuve inédite de l'inégalité des moyennes.
Si $0 < b < a$, on a $1 < \sqrt{a/b} = a/\sqrt{ab} = \sqrt{ab}/b = (a - \sqrt{ab})/(\sqrt{ab} - b)$.et donc
$a - \sqrt{ab} > \sqrt{ab} - b$, etc.
A+
J'ai déniché dans un vieux livre une preuve inédite de l'inégalité des moyennes.
Si $0 < b < a$, on a $1 < \sqrt{a/b} = a/\sqrt{ab} = \sqrt{ab}/b = (a - \sqrt{ab})/(\sqrt{ab} - b)$.et donc
$a - \sqrt{ab} > \sqrt{ab} - b$, etc.
A+
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Réponses
C'est si bon de varier les plaisirs.
A+
Voici une variante, basée sur le résultat suivant :
Si quatre nombres positifs rangés par ordre croissant forment une proportion, alors la somme des extrêmes surpasse la somme des moyens.
Et donc
$a \le b \Rightarrow a \le \sqrt{ab} \le \sqrt{ab} \le b \Rightarrow \sqrt{ab} + \sqrt{ab} \le a + b$.
Un exercice demandant de prouver et le lemme et l'inégalité des moyennes ne serait pas inintéressant pour un élève de lycée, voire de Math-Sup.
A+
Ça commence à devenir un peu intéressant pour trois nombres, si l'on se soucie de méthodes spécifiques.
On peut penser à l'approche algébrique. Factorisation du polynôme :
$x^3-3abx+(a^3+b^3)=(x+(a+b))(x^2-(a+b)x+(a^2-ab+b^2))$,
qui donne :
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=\frac12 (x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) \ge 0$.
Il y a aussi, plus amusant, le passage de deux à quatre nombres : $\frac{x+y+z+t}{4}=\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{z+t}{2}}{2}\geq \sqrt{\frac{x+y}{2}\cdot \frac{z+t}{2}}\geq \sqrt{\sqrt{xy}\sqrt{zt}}=\sqrt[4]{xyzt}$.
Et on revient à trois nombres en faisant $t:=\frac{x+y+z}{3}$, qui conduit à : $t=\frac{x+y+z+t}{4}\geq \sqrt[4]{xyzt}$, qui équivaut à : $t\geq \sqrt[3]{xyz}$.
La condition de l'égalité s'établit sans mal.
Ceci peut donner matière à exercices et problèmes dans telle ou telle classe. Quand j'enseignais je ne m'en suis pas privé.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Un autre petit exercice sympa sur les proportions à termes positifs :
$a/b = c/d = \ ... \ \Rightarrow a/b = A/A' = G/G' = H/H' = Q/Q'$, où $A$ est la moyenne arithmétique des numérateurs (ou antécédents), $A'$ la moyenne des dénominateurs (ou conséquents), G/G' les moyennes géométriques, H/H' les moyennes harmoniques et Q/Q' les moyennes quadratiques.
A+
Et une autre preuve de l'inégalité des moyennes :
$4ab = (a+b)^2 - (a - b)^2 \Rightarrow 4ab \le (a+b)^2$, etc.
Donc, si j'ai bonne mémoire, nous avons :
-- une preuve géométrique (basée sur un triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle) ;
-- une preuve analytique au moins (étude d'une fonction idoine) ;
-- cinq preuves algébriques (la présente, la classique, les deux basées sur les proportions, plus celle basée sur l'annulation du discriminant d'un trinôme idoine).
J'attends une preuve probabiliste, une preuve basée sur la géométrie descriptive et une preuve basée sur la cohomologie galoisienne des modules finis.
A+