Polynôme à plusieurs variables

mcd · October 2020

Bonjour,

Je n'ai pas compris comment il utilise le théorème dans l'application à l'union des espaces vectoriels. J'ai l'impression que P est nulle sur $K^{n}$ implique $P = 0$ donc je ne vois pas où il l'utilise.
http://dyna.maths.free.fr/docs/lecons/developpement_algebre_511.pdf
Merci pour votre aide !

Maxtimax · October 2020

Bah il l'utilise avec $S_i = k$.

Il n'est pas automatique (même si c'est facile) que $\forall x\in k^n, P(x) = 0$ implique $P=0$, d'ailleurs c'est faux lorsque $k$ est fini, donc il y a un argument à faire. Cet argument s'applique pour $S_1\times ... \times S_n$ aussi bien que pour $k^n$ donc autant le prouver dans ce cadre.

mcd · October 2020

Bonjour Maxtimax.
Merci pour votre réponse.

Je comprends l'importance d'un produit cartésien. Par exemple $P(X,Y) = X-Y$ s'annule sur un ensemble infini. Mais ce n'est pas un produit cartésien. Par contre si l'on prend $S_{i} = k$ alors là. Ça me semble intuitivement évident. C'est peut-être parce que je pense aux applications polynomiales mais bien évidement l'injection (l'identification) se fait grâce au théorème. Donc en ce sens on l'utilise.

Maxtimax · October 2020

A nouveau c'est intuitivement évident mais faux pour les corps finis :-D il faut donc bien un résultat, qui ne se prouve pas plus simplement que le théorème en question (ou bien je te le lance en défi si ça t'amuse ;-) trouver une preuve du cas $k^n$ qui ne s'adapte pas immédiatement au cas $S_1\times ... \times S_n$)

mcd · October 2020

J'ai fini par m'y faire à l'idée ! Il fallait un peu de temps :)o.

Polynôme à plusieurs variables

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