Inégalité exponentielle

louis2126 · October 2020

Bonjour,
Je suis en première année de prépa MPSI.
Je bloque sur mon dm. Je dois étudier le signe d'une dérivée et après simplification, je trouve ceci : 2 + x > exp(x)/exp(-x).
Je vois assez bien que se sera vrai pour tout x mais je ne vois pas comment je peux le montrer.
Avez-vous des pistes ?
Merci par avance de vos réponses

Chaurien · October 2020

Euh ...Pas de simplification pour exp(x)/exp(-x) ?

bd2017 · October 2020

Bonjour
J'ai un fort doute sur la véracité de cette inégalité.

Chaurien · October 2020

Bah aux alentours de $0$, ça marche... Déjà le questionneur ne s'est même pas soucié d'écrire correctement le titre du fil.

Chaurien · October 2020

Inégalité exponentielle

Chalk · October 2020

louis216 a écrit:

Je vois assez bien que se sera vrai pour tout x mais je ne vois pas comment je peux le montrer.

Tu vois mal, c'est ballot.

math2 · October 2020

C'est vrai que pour $x=1$ c'est déjà très faux, car $3<4=2^2<e^2=e/e^{-1}$, alors ne parlons pas de $x=10000000$

SchumiSutil · October 2020

C'est un peu triste de penser que certains étudiants de MPSI pensent que $2 + x > \frac{e^x}{e^{-x}} $ est vraie pour tout $x$ réel...

biely · October 2020

Effectivement c'est assez choquant de se dire que l'on a pour tout x réel 2+x>2x+1 8-)

SchumiSutil · October 2020

Sinon, pour aider l'auteur, je me souviens qu'en Terminale S, face à ce genre de problème, j'avais le réflexe d'introduire la fonction $x \mapsto 2 + x - e^{2x}$ (car oui $e^{x}/e^{-x} = e^{2x}$, propriétés sur les puissances) et d'étudier son signe (par exemple en la dérivant, à l'aide d'un tableau de variations, etc)

jean lismonde · November 2020

bonjour louis

ton inégalité n'est vraie que pour a < x < b

avec a et b les deux racines réelles de l'équation $e^{2x} = x + 2$

on trouve a = - 1,995 et b = 0,45...

cordialement

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