Calculer la somme des produits

Jolie question !

Soient $x_1,...,x_{n}$ des réels non nuls distincts non égaux à $1$ ou à $-1$.

Si on considère les $2n+1$ réels $1,x_2,1/x_2,...,x_n,1/x_n$



Si pour un nombre de "$x_i$" donné la quantité donnée dans le premier message est constante alors si on considère cette quantité évaluée en $\displaystyle X_1=1,X_2=x_2,X_3=1/x_2,...,X_{2n1}=x_n,X_{2n+1}=1/x_n$ ($2n+1$ termes ) elle vaut $1$.

En effet, cette quantité est égale à $\displaystyle \prod_{j=2}^{2n+1} \frac{1-X_j}{1-X_j}+ \sum_{i=2}^{2n+1} \prod_{1\leq i\neq j\leq 2n+1} \frac{1-X_iX_j}{X_i-X_j}$.

Dans les produits on aura un terme de la forme $\displaystyle \frac{1-x_p\times \frac{1}{x_p}}{x_p-\frac{1}{x_p}} $
Donc le deuxième terme de la somme est nulle et la quantité étudiée vaut donc $1$.

Bonjour,

J'ai reçu en MP la question:

> Pardon, je ne peux pas poster ce genre de postes ?

Ben non, quand on arrive dans un nouveau lieu, il faut se renseigner sur les règles en vigueur dans ce lieu.
Ici, il faut lire la charte et s'y conformer.

Cordalement,

Rescassol