Hyperplan
J'essaie de réécrire à ma façon un truc sur les hyperplans et je bloque sur un passage.
Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel et $H$ un sous-espace vectoriel de $E$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
Comment procéderiez-vous, si possible sans utiliser de détour par d'autres implications (même si je sais que d'un point de vue logique ce serait correct) ?
Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel et $H$ un sous-espace vectoriel de $E$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
- $\mathrm{codim}_E (H):=\dim(E/H)=1$
- $\exists x\in E\setminus\{0_E\},\quad E=H\oplus\K x$
- $(H\neq E)$ et $(\forall x\in E\setminus H,\quad E=H\oplus \K x)$
- $\exists\varphi\in E^{*}\setminus\{0_{E^*}\},\quad H=\ker(\varphi)$
- $H$ est un élément maximal (pour l'inclusion) de l'ensemble des sous-espaces vectoriels stricts de $E$.
Comment procéderiez-vous, si possible sans utiliser de détour par d'autres implications (même si je sais que d'un point de vue logique ce serait correct) ?
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Réponses
En particulier, si $y\in E$, alors $\varphi(y-\lambda x)= 0$ pour un certain $\lambda\in \mathbf K$, de sorte que $y\in \lambda x + H\subset L$ : donc $L=E$.
Soient $H_1$ et $H_2$ deux hyperplans d'un $\K$-espace vectoriel $E$. J'arrive à montrer que $H_1$ et $H_2$ sont isomorphes, de cette façon relativement opérationnelle : si $H_1\neq H_2$, j'exhibe un élément $x\in E\setminus (H_1\cup H_2)$ et donc $\K x$ est un supplémentaire commun à $H_1$ et $H_2$, ils sont donc isomorphes.
J'aimerais si possible une preuve davantage "conceptuelle/théorique", peut-être avec des diagrammes et la notion de quotient. Mais je n'arrive pas à formaliser proprement. J'ai l'impression que derrière, il y a la propriété plus générale suivante (que je n'arrive pas à démontrer, même si ça me paraît intuitivement évident) :
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un $\K$-espace vectoriel $E$. Alors on a $F\simeq G$ si et seulement si $E/F\simeq E/G$.
Par exemple dans $E=\R[X]$, pour $F=X\R[X]$ et $G=X^2\R[X]$, on a $F\simeq G$ (via l'isomorphisme $P\mapsto XP$ par exemple) alors que $E/F\simeq\R$ et $E/G\simeq\R^2$. Pour le vice versa, si $F=\R1$ (une droite) et $G=\R[X^2]$, il est bien clair que $F$ et $G$ ne sont pas isomorphes (l'un est de dimension $1$, l'autre de dimension infinie) alors que $E/F$ et $E/G$ le sont (base de l'un : image de $(X^{k+1})_{k\ge0}$ par la projection canonique ; base de l'autre : image de $(X^{2k+1})_{k\ge0}$).
Propriété analogue (fausse) pour les ensembles : dans un ensemble $X$, il n'y a pas de rapport entre l'équipotence de deux parties $A$ et $B$ et celle de leurs complémentaires $X\setminus A$ et $X\setminus B$. Exemples : $X=\N$ ; dans un sens, $A=\N\setminus\{0\}$ et $B=\N\setminus\{0,1\}$ ; dans l'autre, $A=\{0\}$ et $B=2\N$.
Cela risque donc d'être compliqué d'en trouver une preive "conceptuelle" dans le cadre des espaces vectoriels de dimension finie : elle est vraie dans celui-ci, mais pour des raisons bêtes - on regarde la dimension et c'est plié.
Pour la question plus spécifique des hyperplans (qui, elle, reste vraie en dimension infinie), on ne pourra pas se passer de trouver un supplémentaire, parce qu'elle devient fausse dans le cas des modules sur un anneau quelconque. L'idée, de toute façon, de pourquoi c'est vrai, est exactement celle que tu décris : je prends un pivot $x$ qui me permet de passer de l'un à l'autre
Merci Math Coss et Maxtimax !