Application vectorielle surjective
dans Algèbre
Bonjour
J'aimerais savoir si l'application h qui à une suite u réelle associe une [suite] v tel que pour tout n,
À part me donner des suites telle que h(u)=h(v) je ne vois pas quoi faire d'autre.
Merci.
J'aimerais savoir si l'application h qui à une suite u réelle associe une [suite] v tel que pour tout n,
vn= (1/n+1) somme des uk, pour k de 0 à n,
est surjective et injective.À part me donner des suites telle que h(u)=h(v) je ne vois pas quoi faire d'autre.
Merci.
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Réponses
Ton application $h$ est linéaire sur l'espace vectoriel des suites réelles.
Donc l'injectivité est équivalente au noyau réduit à $0$. Or par récurrence, $h(u) = 0$, implique $u_n = 0$ pour tout $n \geq 1$ si jamais c'était une coquille et que $S = \sum_{k=1}^n u_k$. Les suites démarrent-elles à $1$ ?
Pour la surjectivité, on définit une suite $u_n$ qui marche : $u_n = v_n/(1/n+1) - \sum_{k=1}^{n-1} u_k$. D'ailleurs, cette méthode montre aussi par équivalence la bijectivité de manière directe.
S'agit-il bien de $h : \ u\mapsto \Big(\frac 1{n+1}\sum\limits_{k=0}^n u_k\Big)_n$ ? (tu as écrit $\frac 1 n +1$ qui pose problème pour $n=0$.
Et quels sont les ensembles de départ et d'arrivée de $h$ ?
Sinon, effectivement, pour l'injectivité, tu vas considérer deux suites $u$ et $u'$ et poser que $h(u)=h(u')$. Comme d'habitude. Tu sais comment vérifier que deux suites sont égales ?
Cordialement.
Concernant v0 la somme commence bien à 0 et il me semble qu'on peut écrire v0=u0
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
Oui il s'agit bien de cette application et quand je considère u et v telle que h(u)=h(v), j'obtiens pour tout n somme k=0 jusqu’à n des uk-vk égale à 0, mais est-ce que je peux directement conclure que uk=vk ?
h va de l'ensemble des suites réelles dans l'ensemble des suites réelles.
Ceci dit ça change quasiment rien à mon message.
Quant à l'injectivité équivalente au noyau réduit à $0$, si tu savais d'où ça venait, tu ne te poserais même pas la question de la validité en dimension infinie.
tu as la possibilité de rectifier tes messages. Pour la lisibilité du fil, le mieux est de barrer (bouton abc) la ligne
vn= (1/n+1) somme des uk, pour k de 0 à n,
et de la remplacer par la ligne correcte
vn= 1/(n+1) somme des uk, pour k de 0 à n,
Cordialement.
Etanche : voir mon message et la réponse de Lucasrib2000.
Cordialement.