Fonctions symétriques et optimisation

Par inégalité arithmético-géométrique, $xy+yz+zx\geq 3(xyz)^{2/3}$ avec égalité ssi $xy=yz=zx$ c'est-à-dire $x=y=z$.
Donc si $xyz$ est constant, $xy+yz+zx$ est minimal lorsque $x=y=z$.

$xy+yz+zx=\frac{1}{6}\left(2(x+y+z)^2-(x-y)^2-(y-z)^2-(z-x)^2\right)\leq \frac{1}{3}(x+y+z)^2$ avec égalité ssi $x=y=z$.
Donc si $x+y+z$ est constant, $xy+yz+zx$ est maximal lorsque $x=y=z$.