Élément irréductible d'un anneau

topopot · October 2020

Soit $A$ un anneau intègre (non nul, commutatif et pour tout $(a,b)\in A^2, ab=0_A$ entraîne $a=0_A$ ou $b=0_A$).
Soit $a\in A$.

Définition 1 (celle de RDO, et d'autres). On dit que $a$ est irréductible si $a$ n'est pas inversible et si ses seuls diviseurs sont les inversibles et les associés à $a$.

Définition 2 (celle de Arnaudiès, et d'autres). Pareil que la définition 1 mais en rajoutant la condition $a\neq 0_A$.

Quelle est la "bonne définition" à adopter avec les conventions d'aujourd'hui ?

De plus, je ne vois pas trop les différences opérationnelles qu'entraînent ces deux définitions.

Julia Paule · October 2020

Bonjour,

Je dirais que dans les 2 cas, $0_A$ n'est pas irréductible : dans le 1er cas, car $0_A$ est divisible par tous les éléments de $A$ (pas seulement les inversibles et les associés à $0_A$, i.e. $0_A$), dans le 2ème cas, par définition.

topopot · October 2020

Merci pour le retour.

Toutefois, il y a quand même une différence dans $\Z/2\Z$, où, sauf erreur :
- selon la définition 1, $\overline{0}$ est irréductible ;
- selon la définition 2, $\overline{0}$ n'est pas irréductible.

Mais je me demande si c'est la seule différence qu'entraîne le fait de choisir l'une ou l'autre des définitions.

Du coup, les deux définitions coïncideraient dans tout anneau $A$ intègre tel que $\lvert A\rvert\neq 2$ (car dans un tel anneau, $0_A$ n'est pas irréductible selon les définitions 1 et 2).

Quelqu'un pour confirmer ?

Julia Paule · October 2020

$\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ est un corps. On est dans un cas particulier où tous les éléments sauf $0$ sont inversibles. La notion d'élément irréductible dans un corps n'a pas beaucoup d'intérêt.

Dans la définition 1., dans un anneau intègre quelconque, "les seuls diviseurs de $a$ sont les inversibles et les éléments associés à $a$" veut dire à mon sens : si $a=bc$, alors $b$ est inversible et $c$ est associé à $a$, ou $c$ est inversible et $b$ est associé à $a$. Cela n'est pas vérifié par $0$ car $0=0.0$.

Le tout est de savoir si dans un corps, on considère que $0$ est irréductible ou non.

Quelqu'un d'autre pourra répondre mieux que moi.

topopot · October 2020

La définition 1 dit juste que les diviseurs sont inversibles ou associés, mais ils peuvent très bien être tous les deux associés. Comme $0$ est associé à lui-même et que $0$ n'est pas inversible (car l'anneau est non nul), l'écriture $0=0.0$ ne contredit pas l'irréductibilité de $0$. Les diviseurs de $0$ sont $0$ et $1$ qui sont associé (pour $0$) ou inversible (pour $1$). Donc $0$ est bien irréductible dans $\Z/2\Z$ (pour la définition 1).

Plus largement (toujours avec la définition 1), on a la propriété suivante dans un anneau intègre :
[size=large]$0_A$ irréductible si et seulement si $A$ est un corps.[/size]

N'hésitez pas à me corriger !

topopot · October 2020

Par contre, il semble que ces deux assertions soient équivalentes, mais je n'arrive pas à montrer le sens 1)$\implies$2) (on se place dans un anneau $A$ intègre et $a\in A\setminus (A^{\times}\cup\{0_A\})$) :
1) Les seuls diviseurs de $a$ sont les inversibles et ses associés.
2) Pour tout $(b,c)\in A^2$, si $a=bc$ alors $b\in A^{\times}$ ou $c\in A^{\times}$.

Julia Paule · October 2020

Bonjour topopot,

Il me semble qu'il suffit d'utiliser la définition d' "éléments associés".

La bonne question serait me semble-t-il : est-il préférable de considérer $0$ comme irréductible ou comme non irréductible de manière générale. Il ne faut pas que ça coince dans certains théorèmes, par exemple, celui-là : "Dans un anneau factoriel, tout élément irréductible est premier".
Les corps sont des anneaux factoriels (car principaux), et $0$ n'est pas considéré comme un élément premier, donc si on considère que $0$ est irréductible, on a une contradiction.

Pour finir, voici une 3ème définition d'élément irréductible :

Définition 3 (celle de J. Calais). On dit que $a$ est irréductible dans un anneau intègre $A$ si :
i) $a$ n'est pas inversible,
ii) $a=bc \Rightarrow b$ ou $c$ est inversible.

Dans cette définition, $0$ n'est pas irréductible.;-)