Action de GL(V) sur End(V)
dans Algèbre
Bonjour,
Dans un exercice, je cherche une CNS pour que 2 endomorphismes d'un espace vectoriel $V$ de dimension finie $n$ soient dans la même orbite sous l'action de $GL(V)$ sur $End(V)$ à gauche (resp. à droite). Autrement dit, soient $f, g \in End(V)$, on cherche à quelle condition sur $f$ et $g$, $\exists u \in GL(V), u \circ f = g$.
Intuitivement et d'après mes souvenirs (qui remontent un peu), une CNS serait que $f$ et $g$ ont même rang.
Dans le sens <=, c'est facile, $u \in GL(V), u \circ f = g \Rightarrow rg(u \circ f) = \dim (u \circ f) (E)=\dim f(E)= \dim g(E)$ (car $u$ bijective conserve les dimensions).
Dans le sens =>, si $f$ et $g$ ont même rang, alors $f(E) \cong g(E) \cong K^m, 0\leq m \leq n $. Je vois dans Wiki que 2 matrices $A$ et $B$ ont même rang ssi elles sont équivalentes (i.e. il existe $P$ et $Q$ inversibles telles que $B=PAQ^{-1})$. Cela ne correspond pas à $u \circ f = g$, de matrices qui vérifient $PA=B$, $P$ inversible, car on a seulement $PA=BQ$.
Merci d'avance.
Dans un exercice, je cherche une CNS pour que 2 endomorphismes d'un espace vectoriel $V$ de dimension finie $n$ soient dans la même orbite sous l'action de $GL(V)$ sur $End(V)$ à gauche (resp. à droite). Autrement dit, soient $f, g \in End(V)$, on cherche à quelle condition sur $f$ et $g$, $\exists u \in GL(V), u \circ f = g$.
Intuitivement et d'après mes souvenirs (qui remontent un peu), une CNS serait que $f$ et $g$ ont même rang.
Dans le sens <=, c'est facile, $u \in GL(V), u \circ f = g \Rightarrow rg(u \circ f) = \dim (u \circ f) (E)=\dim f(E)= \dim g(E)$ (car $u$ bijective conserve les dimensions).
Dans le sens =>, si $f$ et $g$ ont même rang, alors $f(E) \cong g(E) \cong K^m, 0\leq m \leq n $. Je vois dans Wiki que 2 matrices $A$ et $B$ ont même rang ssi elles sont équivalentes (i.e. il existe $P$ et $Q$ inversibles telles que $B=PAQ^{-1})$. Cela ne correspond pas à $u \circ f = g$, de matrices qui vérifient $PA=B$, $P$ inversible, car on a seulement $PA=BQ$.
Merci d'avance.
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Réponses
-même noyau si et seulement si il existe $p\in GL(F)$ tel que $p \circ f = g$
-même image si et seulement si il existe $q\in GL(E)$ tel que $f \circ q = g$
-même rang si et seulement s'il existe $p\in GL(F)$ et $q \in GL(E)$ tels que $p \circ f \circ q = g$.
(Dans chaque cas, décomposer $E$ en somme directe du noyau de $f$ et d'un autre sous-espace sur lequel la restriction de $f$ est injective puis raisonner avec des bases idoines.)
J'essaie de démontrer la 1ère affirmation : un sens est immédiat ($p \circ f = g \Rightarrow \ker f = \ker g$) ; pour l'autre sens, il faut définir $p$ sur une base adéquate de $E$, en complétant une base de $\ker f$ par une base sur un supplémentaire $H$ de $\ker f$.
Posons $E=\ker f \oplus H$, $(e_1, ...., e_k)$ une base de $\ker f$, complétée par $(e_{k+1}, ..., e_n)$ une base de $H$.
Sur $\ker f$, on peut choisir $p_{| \ker f}=id_{\ker f}$. On aura $p \circ f (e_i)=g(e_i), \forall 1 \leq i \leq k$.
On sait que $H \cong Im(f) $ par l'isomorphisme $f_H$, restriction de $f$ à $H$. C'est là que coïnce. On veut $p(e_i) , k+1 \leq i \leq n$ ; $p(e_i)=p \circ f_H^{-1} \circ f_H (e_i)$, donc en fait, il faut partir avec $p \circ f_H^{-1}$.
Est-ce que la démarche est la bonne ? Merci d'avance.
pour compléter ce que dit quangtu:
effectuer des opérations élémentaires sur les colonnes d'une matrice revient à multiplier cette matrice à droite par la matrice $I_n$, ayant subi les mêmes opérations.
Donc si $A$ et $B$ sont deux matrices de même rang, elles ont la même forme réduite échelonnée en colonnes. Ton résultat en découle.
On procède de même avec l'échelonnage en ligne, qui correspond à la multiplication à gauche.
Bonne soirée, en espérant ne pas avoir dit trop de bêtise cette fois ci !
La restriction de $f$ à $H$ est un isomorphisme de $H$ sur $\Im m f$. Pas besoin de bases pour terminer
Si $h$ est l'isomorphisme de $f$ restreint à $H$, sur $\Im m f$, on définit $p$ sur $\Im m f$ par $p(y)=h^{-1}(y)$. On le définit par $0$ sur un supplémentaire. On n'a pas unicité de $p$.
Je bats ma coulpe.
Merci Math Coss, il me semblait que quelque chose clochait avec les matrices échelonnées.
Soit $\R^{\N}$ l'espace vectoriel sur $\R$ des suites réelles; soit $f$ l'application qui à une suite $x=\left ( x_n\right )_{n\in \N}$ fait correspondre la suite $n\mapsto 0$ si $n=0$ et $x_n$ si $n\neq 0$. Soit $g$ l'application qui à $x$ fait correspondre $n\mapsto x_{n+1}$.
Alors $f$ et $g$ sont des applications linéaires de $\R^{\N}$ dans lui-même ayant le même noyau (l'ensemble des suites dont tous les termes sont nuls sauf le premier, les indices démarrant à $0$).
Mais il n'existe aucune application linéaire $p$ inversible telle que $p \circ f = g$ puisque $g$ est surjective et pas $f$ autrement dit la mise à contribution de propriétés spécifiques à la dimension finie est indispensable pour résoudre l'exercice, et ces propriétés doivent être explicitées. C'est pour ça que j'avais utilisé des bases.
Pour l'image, on reste dans $\R^{\N}$; soit $f'$ l'application identité ($f'(x)$). Alors $f'$ est surjective et donc a la même image que $g$. Mais il n'existe aucune application linéaire inversible $q$ telle que $f' \circ q = g$ puisque $f'$ est injective et pas $g$.
échelonner une matrice revient donc à se "promener" dans l'orbite de cette matrice sous l'action d'un sous groupe de $GL(V)$ (celui engendré par les matrices de permutation, transvection et dilatation).
Que ce ne soit pas canonique je veux bien, mais cela me semble être une description acceptable du problème considéré.
A+
F.
PS: En écrivant cela, je me dis d'ailleurs que $GL(V)$ doit être engendré par les matrices de permutation, transvection, dilatation.
@malavita Je voulais préciser qu'il y a des matrices échelonnées réduites ligne de même rang mais différentes: $\pmatrix{1&0&0\\0&1&0\\0&0&0}$ et $\pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\0&0&0}$ pour un exemple. Evidemment ils n'ont pas de noyau identique.
si je ne dis pas de bêtises, les matrices que tu donnes en exemple sont dans une même orbite lorsque $GL(V)$ agit par multiplication à droite, mais pas si $GL(V)$ agit par conjugaison. C'est en ce sens là qu'elles sont différentes ?
Bonne journée
F.