Action de GL(V) sur End(V)

Julia Paule
Julia Paule
dans Algèbre
Bonjour,

Dans un exercice, je cherche une CNS pour que 2 endomorphismes d'un espace vectoriel $V$ de dimension finie $n$ soient dans la même orbite sous l'action de $GL(V)$ sur $End(V)$ à gauche (resp. à droite). Autrement dit, soient $f, g \in End(V)$, on cherche à quelle condition sur $f$ et $g$, $\exists u \in GL(V), u \circ f = g$.

Intuitivement et d'après mes souvenirs (qui remontent un peu), une CNS serait que $f$ et $g$ ont même rang.
Dans le sens <=, c'est facile, $u \in GL(V), u \circ f = g \Rightarrow rg(u \circ f) = \dim (u \circ f) (E)=\dim f(E)= \dim g(E)$ (car $u$ bijective conserve les dimensions).

Dans le sens =>, si $f$ et $g$ ont même rang, alors $f(E) \cong g(E) \cong K^m, 0\leq m \leq n $. Je vois dans Wiki que 2 matrices $A$ et $B$ ont même rang ssi elles sont équivalentes (i.e. il existe $P$ et $Q$ inversibles telles que $B=PAQ^{-1})$. Cela ne correspond pas à $u \circ f = g$, de matrices qui vérifient $PA=B$, $P$ inversible, car on a seulement $PA=BQ$.

Merci d'avance.

Réponses

  • quangtu123
    quangtu123
    Chaque orbite de Mn(k) sous l'action de GLn(k) correspond à une unique matrice échelonnée réduite ligne de taille $n\times n$.
  • Foys
    Foys
    Deux applications linéaires $f,g:E\to F$ entre espaces vectoriels de dimension finie ont:
    -même noyau si et seulement si il existe $p\in GL(F)$ tel que $p \circ f = g$
    -même image si et seulement si il existe $q\in GL(E)$ tel que $f \circ q = g$
    -même rang si et seulement s'il existe $p\in GL(F)$ et $q \in GL(E)$ tels que $p \circ f \circ q = g$.

    (Dans chaque cas, décomposer $E$ en somme directe du noyau de $f$ et d'un autre sous-espace sur lequel la restriction de $f$ est injective puis raisonner avec des bases idoines.)
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Merci beaucoup, j'avais oublié cette proposition.

    J'essaie de démontrer la 1ère affirmation : un sens est immédiat ($p \circ f = g \Rightarrow \ker f = \ker g$) ; pour l'autre sens, il faut définir $p$ sur une base adéquate de $E$, en complétant une base de $\ker f$ par une base sur un supplémentaire $H$ de $\ker f$.

    Posons $E=\ker f \oplus H$, $(e_1, ...., e_k)$ une base de $\ker f$, complétée par $(e_{k+1}, ..., e_n)$ une base de $H$.

    Sur $\ker f$, on peut choisir $p_{| \ker f}=id_{\ker f}$. On aura $p \circ f (e_i)=g(e_i), \forall 1 \leq i \leq k$.
    On sait que $H \cong Im(f) $ par l'isomorphisme $f_H$, restriction de $f$ à $H$. C'est là que coïnce. On veut $p(e_i) , k+1 \leq i \leq n$ ; $p(e_i)=p \circ f_H^{-1} \circ f_H (e_i)$, donc en fait, il faut partir avec $p \circ f_H^{-1}$.

    Est-ce que la démarche est la bonne ? Merci d'avance.
  • malavita
    malavita
    Bonsoir à tous,

    pour compléter ce que dit quangtu:


    effectuer des opérations élémentaires sur les colonnes d'une matrice revient à multiplier cette matrice à droite par la matrice $I_n$, ayant subi les mêmes opérations.
    Donc si $A$ et $B$ sont deux matrices de même rang, elles ont la même forme réduite échelonnée en colonnes. Ton résultat en découle.

    On procède de même avec l'échelonnage en ligne, qui correspond à la multiplication à gauche.

    Bonne soirée, en espérant ne pas avoir dit trop de bêtise cette fois ci !
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Merci malavita. Je ne suis pas à l'aise avec les matrices échelonnées, c'est pourquoi je n'ai pas suivi l'indication de quangtu. Je vais essayer quand même.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Heu, un peu n'importe quoi ce que j'ai fait plus haut. Il faut définir $p$ sur $F$, pas sur $E$. Je revois.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Bon alors, gardons $E= \ker f \oplus H$, et posons $F=Im f \oplus G$. $(f_H(e_i))_{\{k+1 \leq i \leq n)}$ est une base de $Im f$, posons sur cette base : $p(f(e_i))=g(e_i)$. Complétons par une base de $G$, et posons $p_{|G}=id_G$. On a bien $p(f(e_i))=g(e_i), \forall 1 \leq i \leq n$, donc $p \circ f =g$. Après, $p \in GL(F)$ semble facile. Merci encore.
  • zephir
    zephir
    Bonjour,
    La restriction de $f$ à $H$ est un isomorphisme de $H$ sur $\Im m f$. Pas besoin de bases pour terminer
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Il faut définir $p$ tel que $p \circ f=g$. Il me semble qu'on a besoin d'une base pour cela ?
  • zephir
    zephir
    Non, il suffit de définir $p$ de façon linéaire sur des sous-espaces supplémentaires.
    Si $h$ est l'isomorphisme de $f$ restreint à $H$, sur $\Im m f$, on définit $p$ sur $\Im m f$ par $p(y)=h^{-1}(y)$. On le définit par $0$ sur un supplémentaire. On n'a pas unicité de $p$.
  • Math Coss
    Math Coss
    Quant aux matrices échelonnées, elles n'ont pas leur place ici. Elles apparaissent quand on autorise des combinaisons linéaires de rangées déjà vues et pas au-delà, ce qui revient à parler de l'action par multiplication à gauche ou à droite du groupe des matrices triangulaires (disons supérieures pour fixer les idées).

    Je bats ma coulpe.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    @zephir, oui d'accord, mais avec $p(y)=g(h^{-1}(y))$ ?

    Merci Math Coss, il me semblait que quelque chose clochait avec les matrices échelonnées.
  • zephir
    zephir
    Oui Julia, tu as raison, c'est un oubli.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Merci zephir.
  • Foys
    Foys
    Les deux premières propriétés de l'exo sur le noyau et l'image sont fausses en dimension infinie.

    Soit $\R^{\N}$ l'espace vectoriel sur $\R$ des suites réelles; soit $f$ l'application qui à une suite $x=\left ( x_n\right )_{n\in \N}$ fait correspondre la suite $n\mapsto 0$ si $n=0$ et $x_n$ si $n\neq 0$. Soit $g$ l'application qui à $x$ fait correspondre $n\mapsto x_{n+1}$.

    Alors $f$ et $g$ sont des applications linéaires de $\R^{\N}$ dans lui-même ayant le même noyau (l'ensemble des suites dont tous les termes sont nuls sauf le premier, les indices démarrant à $0$).
    Mais il n'existe aucune application linéaire $p$ inversible telle que $p \circ f = g$ puisque $g$ est surjective et pas $f$ autrement dit la mise à contribution de propriétés spécifiques à la dimension finie est indispensable pour résoudre l'exercice, et ces propriétés doivent être explicitées. C'est pour ça que j'avais utilisé des bases.

    Pour l'image, on reste dans $\R^{\N}$; soit $f'$ l'application identité ($f'(x)$). Alors $f'$ est surjective et donc a la même image que $g$. Mais il n'existe aucune application linéaire inversible $q$ telle que $f' \circ q = g$ puisque $f'$ est injective et pas $g$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • malavita
    malavita
    Bonjour MathCoss,

    échelonner une matrice revient donc à se "promener" dans l'orbite de cette matrice sous l'action d'un sous groupe de $GL(V)$ (celui engendré par les matrices de permutation, transvection et dilatation).
    Que ce ne soit pas canonique je veux bien, mais cela me semble être une description acceptable du problème considéré.

    A+

    F.

    PS: En écrivant cela, je me dis d'ailleurs que $GL(V)$ doit être engendré par les matrices de permutation, transvection, dilatation.
  • Math Coss
    Math Coss
    Tu as raison, c'est moi qui ai dit n'importe quoi. Et je n'en suis pas fier.
  • quangtu123
    quangtu123
    Désolé pour cette approche non canonique.
    @malavita Je voulais préciser qu'il y a des matrices échelonnées réduites ligne de même rang mais différentes: $\pmatrix{1&0&0\\0&1&0\\0&0&0}$ et $\pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\0&0&0}$ pour un exemple. Evidemment ils n'ont pas de noyau identique.
  • malavita
    malavita
    Bonjour Quantgu et bonjour à tous,

    si je ne dis pas de bêtises, les matrices que tu donnes en exemple sont dans une même orbite lorsque $GL(V)$ agit par multiplication à droite, mais pas si $GL(V)$ agit par conjugaison. C'est en ce sens là qu'elles sont différentes ?

    Bonne journée

    F.
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