Irréductibilité dans $\mathbb{C}[X,Y]$
dans Algèbre
Bonjour
Je dois démontrer l'irréductibilité du polynôme suivant:
Merci d'avance.
Je dois démontrer l'irréductibilité du polynôme suivant:
X2 - Y3, dans $\mathbb{C}$[X,Y].
Pour d'autres exemples de cet exercice, je me suis servi du critère de réduction, et du critère d'Eisenstein, mais ici, aucun des deux ne semble m'aider. Idées, indices ?Merci d'avance.
Réponses
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Bonjour,
C'est une conséquence du fait que $Y^3$ ne possède pas de racine carrée dans $\Bbb C[Y]$, non ? -
Qu'est-ce que tu appelles le critère de réduction ?
Sinon, est-ce que tu as pensé au lemme de Gauss (par exemple dans $R[X]$ avec $R= \mathbb C[Y]$) ? -
Le critère de réduction tel que si p.ex. par exemple j'avais un polynôme $f$ dans $\mathbb{Z}$, je le réduisais modulo 2. Le fait que ce que j'ai obtenu est un polynôme irréductible dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ implique que $f$ est irréductible dans $\mathbb{Z}$.
Je n'ai pas encore vu le lemme de Gauss jusqu'à présent. -
Pour les polynômes de petit degré (ici, le degré en $X$ de $X^2-Y^3$ vaut 2) on peut supposer qu'il y a une factorisation et voir le cas échéant quelle doit être sa forme.
Soient $A,B\in \C[X,Y]$ tels que $AB=X^2-Y^3$. Soit $d_A$ (resp $d_B$) le degré en $X$ de $A$ (resp $B$).
On a alors deux cas : 1°) $d_A=2$ et $d_B=0$ (ou bien $d_B=2$ et $d_A=0$ mais cela revient au même quitte à échanger $A$ et $B$) et 2°) $d_A=d_B=1$.
Dans le premier cas on a $f,g,h,q,b\in \C[Y]$ tels que $A(X,Y)=f(Y)X^2+g(Y)X+h(Y)$ et $B(X,Y)=Y$ et alors
$X^2-Y^3 = \left ( f(Y)X^2+g(Y)X+h(Y)\right ) b(Y) = f(Y)b(Y)X^2+g(Y)b(Y)X+h(Y)b(Y)$.
Par suite $f(Y)b(Y)=1$ ce qui entraîne que $c:=b(Y) \in \C\backslash \{0\}$, $f(Y)=c^{-1}$, $g(Y)=0$ et $h(Y)=c^{-1}Y^3$.
Dans le deuxième, il existe $t,u,v,w\in \C[Y]$ tels que $A(X,Y)= t(Y)X+u(Y)$ et $B(X,Y)= v(Y)X+w(Y)$. On conclut par un raisonnement analogue au premier cas (via $t(Y)v(Y) = 1$).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Merci beaucoup!
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$\DeclareMathOperator{\deg}{deg}$Bonjour à tous.
Je profite de ce fil pour signaler le joli critère d'irréductibilité suivant.
Un polynôme $f\in\C[x_1,\dots,x_r]$ qui s'écrit sous la forme $f=f_1(x_1)+\dots+f_r(x_r)$ avec $\deg(f_i)\ge 1$ pour tout $i$ est toujours irréductible pour $r\ge 3$. Pour $r=2$, le polynôme $f$ est irréductible si $\deg(f_1)$ et $\deg(f_2)$ sont premiers entre eux (on est dans ce dernier cas avec l'exemple $X^2-Y^3$).
Plus d'infos ici : https://mathoverflow.net/questions/14076/irreducibility-of-polynomials-in-two-variables. -
Joli!
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Soient $k$ un corps commutatif et $a,b$ deux entiers naturels premiers entre eux.
Étant donné l’anneau de polynômes $k[Z]$, il existe, par la propriété universelle de l’anneau des polynômes, un homomorphisme $f:\: k[X,Y] \longrightarrow k[Z]$ défini par $f(X)=Z^b, \: f(Y)=Z^a$ et $f(\lambda)=\lambda$ pour tout $\lambda \in k$.
Alors $\ker f= (X^a-Y^b)k[X,Y]$ et $X^a-Y^b$ est un polynôme irréductible de $k[X,Y]$.
Source: Algèbre et géométrie, Jean Fresnel et Michel Matignon. Ellipses.
... -
Tout élément $P(X,Y)$ du noyau de $f$ s’exprime, après division euclidienne par $X^a-Y^b$, sous la forme $P=(X^a-Y^b)Q(X,Y)+\text{RESTE}$.
Le reste est un polynôme en $X$, de degré $a-1$, à coefficients dans $k[Y]$ et l’on démontre que tous ces coefficients sont nuls.
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Bonjour!
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