Groupe de Galois à plusieurs variables
Bonjour,
bien que je ne connaisse pas bien la théorie de Galois en une variable, je me demandais s'il y avais une généralisation possible en plusieurs variables ?
En plusieurs variables, il intervient naturellement les ensembles algébriques affines dans la clôture algébrique de Q par exemple. Si on passe dans le projectif, avec des polynômes homogènes, est-ce que l'on a une notion d'automorphismes entre deux ensembles algébriques projectifs, qui soient l'identité sur le premier ensemble, et qui dépend du degré ?
En vous remerciant,
ignatus.
[Même dans le titre, Evariste Galois (1811-1832) prend toujours une majuscule. AD]
bien que je ne connaisse pas bien la théorie de Galois en une variable, je me demandais s'il y avais une généralisation possible en plusieurs variables ?
En plusieurs variables, il intervient naturellement les ensembles algébriques affines dans la clôture algébrique de Q par exemple. Si on passe dans le projectif, avec des polynômes homogènes, est-ce que l'on a une notion d'automorphismes entre deux ensembles algébriques projectifs, qui soient l'identité sur le premier ensemble, et qui dépend du degré ?
En vous remerciant,
ignatus.
[Même dans le titre, Evariste Galois (1811-1832) prend toujours une majuscule. AD]
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Réponses
ignatus.
Typiquement, si tu as une variété définie sur $\mathbb Q$ et que tu étudies ses $\overline{\mathbb Q}$-points, tu as une action du groupe de Galois absolu dessus, et tu peux l'étudier, c'est quelque chose qui se fait beaucoup en géométrie algébrique et alentours (j'ai entendu Geordie Williamson en parler dans le cadre de la théorie des représentations; mais ce genre d'idée se répercute un peu partout).
Un exemple typique de question de ce genre c'est la question de la descente galoisienne: j'ai mon extension $L/K$, et à tout objet $X$ d'un certain type sur $K$, je peux associer par "extension" un objet du même type mais sur $L$. Cet objet acquiert aussi une action de $Aut_L(K)$. Inversement, si je pars d'un objet sur $L$ avec une telle action, dans quelle mesure je peux en trouver un sur $K$ dont il provient, i.e. dans quelle mesure je peux "redescendre" (d'où "descente").
On peut se poser ce genre de questions pour plein d'objets algébriques, mais aussi géométriques (et donc ta question des variétés affines, projectives etc. peut avoir des liens avec ça)
Mais je ne suis pas sûr de comprendre ta question, donc je ne sais pas si j'y réponds.
La théorie de Galois élémentaire est censée répondre à la question de savoir si une équation à une variable de degré 5 est résoluble par radicaux. Comment peut-on généraliser cette question ? Y a-t-il une méthode qui, étant donné m variables et un degré d'homogénéité n, permet de trouver toutes les solutions à partir des 4 opérations, et d'éventuelles procédures en plus ?
ignatus.
ignatus.
ignatus.
ignatus.
ignatus.