Propriétés d'un ensemble quotient

Bonjour, je suis pas sûr d'avoir bien justifié la propriété $(P_3)$ dans ''ma'' démonstration du théorème ci-dessous (non démontré sur mon support), quel(s) argument(s) faut-il utiliser pour démontrer ceci ? (J'ai voulu raisonner par l'absurde, comme pour prouver $(P_1)$ et $(P_2)$, en disant que : ou bien il existe au moins une partie $X$ de l'ensemble quotient qui n'est pas dans $E$, ou bien ''il en manque"...). C'est une notion toute nouvelle pour moi donc je passe probablement à côté d'une évidence mais je ne vois pas.