Valeurs propres d'une matrice symétrique

aichael
aichael
dans Algèbre
Bonsoir quelqu'un peut m'aider pour démontrer que les valeurs propres d'une matrice symétrique à coefficients réels sont réelles .

Réponses

  • Dom
    Dom
    On trouve des démonstrations un peu partout.
    L’une utilise un argument topologique (avec la compacité et les fonctions continues).
  • zephir
    zephir
    Bonsoir,
    voir matrice hermitienne plus généralement.
  • aichael
    aichael
    tu peux me donner une démonstration non topologique
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    $M u=a u$ avec $u\neq 0.$

    On transpose et on prend le conjugué :
    $u^* M^*=\bar{a} u^*$

    On multiplie :
    $u^* M u=a||u||^2$
    et
    $u^*M^* u=\bar{a} ||u||^2$

    Comme $M$ est symétrique réelle, $M=M^*.$

    Donc les membres de gauches sont égaux : $a=\bar{a}.$
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Bonjour!

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