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Valeurs propres d'une matrice symétrique — Les-mathematiques.net
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Algèbre
Valeurs propres d'une matrice symétrique
aichael
October 2020
dans
Algèbre
Bonsoir quelqu'un peut m'aider pour démontrer que les valeurs propres d'une matrice symétrique à coefficients réels sont réel
le
s .
Réponses
Dom
October 2020
On trouve des démonstrations un peu partout.
L’une utilise un argument topologique (avec la compacité et les fonctions continues).
zephir
October 2020
Bonsoir,
voir
matrice hermitienne
plus généralement.
aichael
October 2020
tu peux me donner une démonstration non topologique
YvesM
October 2020
Bonjour,
$M u=a u$ avec $u\neq 0.$
On transpose et on prend le conjugué :
$u^* M^*=\bar{a} u^*$
On multiplie :
$u^* M u=a||u||^2$
et
$u^*M^* u=\bar{a} ||u||^2$
Comme $M$ est symétrique réelle, $M=M^*.$
Donc les membres de gauches sont égaux : $a=\bar{a}.$
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Réponses
L’une utilise un argument topologique (avec la compacité et les fonctions continues).
voir matrice hermitienne plus généralement.
$M u=a u$ avec $u\neq 0.$
On transpose et on prend le conjugué :
$u^* M^*=\bar{a} u^*$
On multiplie :
$u^* M u=a||u||^2$
et
$u^*M^* u=\bar{a} ||u||^2$
Comme $M$ est symétrique réelle, $M=M^*.$
Donc les membres de gauches sont égaux : $a=\bar{a}.$