Généralisation théorème de factorisation
dans Algèbre
Bonjour,
Je me rends compte que le théorème de factorisation d'un morphisme de groupes (aussi appelé propriété universelle du groupe quotient) peut être généralisé comme suit.
Si $p_1$ et $p_2$ sont des morphismes de groupes respectivement $p_1 : G \rightarrow G_1$ et $p_2 : G \rightarrow G_2$, tels que $\ker p_1 \subset \ker p_2$, alors il existe un unique morphisme de groupes $f : p_1(G) \rightarrow G_2$ tel que $f \circ p_1 = p_2$.
Cas particulier : si $p_1$ et $p_2$ sont surjectives et $\ker p_1 = \ker p_2$, alors $G_1 \cong G_2$.
(en espérant ne pas avoir dit des bêtises).
$$\xymatrix@R=5mm{
\ker p_1\subset\ker p_2\qquad&p_1(G) \ar[dd]^{f} &\kern-12mm\subset G_1\\
G \ar@{->>}[ru]^-{p_1} \ar[rd]_{p_2} \\
f\circ p_1=p_2\quad&G_2
} \hspace{2cm} \xymatrix@R=5mm{
\ker p_1=\ker p_2\qquad&G_1 \ar[dd]_{\wr|} \\
G \ar@{->>}[ru]^-{p_1} \ar@{->>}[rd]_{p_2} \\
G_1\simeq G_2\quad&G_2
}$$ Du coup, je me demande pourquoi cette propriété n'est pas énoncée dans la théorie des groupes, ou bien est-elle incluse dans un autre théorème ?
Si quelqu'un a une idée.
Merci d'avance.
[;-) AD]
Je me rends compte que le théorème de factorisation d'un morphisme de groupes (aussi appelé propriété universelle du groupe quotient) peut être généralisé comme suit.
Si $p_1$ et $p_2$ sont des morphismes de groupes respectivement $p_1 : G \rightarrow G_1$ et $p_2 : G \rightarrow G_2$, tels que $\ker p_1 \subset \ker p_2$, alors il existe un unique morphisme de groupes $f : p_1(G) \rightarrow G_2$ tel que $f \circ p_1 = p_2$.
Cas particulier : si $p_1$ et $p_2$ sont surjectives et $\ker p_1 = \ker p_2$, alors $G_1 \cong G_2$.
(en espérant ne pas avoir dit des bêtises).
$$\xymatrix@R=5mm{
\ker p_1\subset\ker p_2\qquad&p_1(G) \ar[dd]^{f} &\kern-12mm\subset G_1\\
G \ar@{->>}[ru]^-{p_1} \ar[rd]_{p_2} \\
f\circ p_1=p_2\quad&G_2
} \hspace{2cm} \xymatrix@R=5mm{
\ker p_1=\ker p_2\qquad&G_1 \ar[dd]_{\wr|} \\
G \ar@{->>}[ru]^-{p_1} \ar@{->>}[rd]_{p_2} \\
G_1\simeq G_2\quad&G_2
}$$ Du coup, je me demande pourquoi cette propriété n'est pas énoncée dans la théorie des groupes, ou bien est-elle incluse dans un autre théorème ?
Si quelqu'un a une idée.
Merci d'avance.
[;-) AD]
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Réponses
Du coup, je comprends mieux pourquoi la propriété universelle du groupe quotient est parfois appelée (donc à tort), "théorème de factorisation", qui lui est plus général.
Donc une démonstration détaillée de la PU du groupe quotient est inutile (comme je l'ai dans mon cours), et de beaucoup de théorèmes me semble-t-il : il suffit d'utiliser le théorème de factorisation.
Enfin, on ne peut pas utiliser ce théorème pour démontrer ceci : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2115016,2115612#msg-2115612, car c'est faux en dimension infinie.
Merci encore.
Ta généralisation n'est pas énoncée en général, j'imagine, car c'est un corollaire justement quasi-immédiat de la PU: ce n'est pas dans l'autre sens.
Vraiment je ne vois pas comment on peut déduire une propriété générale d'applications entre ensembles, d'une propriété entre groupes.
Mais peut-être veux-tu parler d'une autre PU ?
Il s'ensuit alors qu'on obtient tout ce qu'on veut pour les groupes :-D (et autres structures algébriques, par ailleurs)
Je croyais que ce que tu appelais factorisation était la version ensembliste de ton premier post, mais c'est exactement la PU du quotient :-D
Simplement si j'ai une surjection $g : A\to B$, elle est isomorphe au quotient de $A$ par $\{(x,y)\in A^2 \mid g(x)=g(y)\}$ et donc a la même PU. Celle du quotient est... celle du quotient, celle de $B$ est le "théorème de factorisation", mais ce sont les mêmes
Il va effectivement falloir passer à un moment des ensembles aux groupes, mais au niveau des ensembles factorisation = PU
1) http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1414486,1414486#msg-1414486
Les ensembles $A, B, C$ et les applications $f : A \rightarrow B, g : A \rightarrow C$ surjective, sont donnés.
2) https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_factorisation
On a deux ensembles $X$ et $Y$, une application $f : X \rightarrow Y$, et $X$ est muni d'une relation d'équivalence $R$.
Se donner une application surjective $g : A \rightarrow C$ telle que $\ker g \subset \ker f$ revient à se donner une relation d'équivalence $R$ sur $A$ et une application surjective $A \rightarrow A/R$, telle que $a R a' \Rightarrow f(a)=f(a')$ ? Dans les 2 cas, on factorise $f=g \circ h$.
Passer de $C$ à la relation d'équivalence $R$, ok. Passer d'un ensemble quotient $X/R$ à un ensemble quelconque $C$ me parait plus discutable.
(si je le connais pour $A/R$, j'écris $C\cong A/R$ et je l'obtiens pour $C$; si je le connais pour $C$ je l'applique à $C=A/R$)
(comme beaucoup de choses, c'est évident une fois que tu l'as vu ;-) )