Généralisation théorème de factorisation

Julia Paule · October 2020

Bonjour,

Je me rends compte que le théorème de factorisation d'un morphisme de groupes (aussi appelé propriété universelle du groupe quotient) peut être généralisé comme suit.

Si $p_1$ et $p_2$ sont des morphismes de groupes respectivement $p_1 : G \rightarrow G_1$ et $p_2 : G \rightarrow G_2$, tels que $\ker p_1 \subset \ker p_2$, alors il existe un unique morphisme de groupes $f : p_1(G) \rightarrow G_2$ tel que $f \circ p_1 = p_2$.
Cas particulier : si $p_1$ et $p_2$ sont surjectives et $\ker p_1 = \ker p_2$, alors $G_1 \cong G_2$.
(en espérant ne pas avoir dit des bêtises).
$$\xymatrix@R=5mm{
\ker p_1\subset\ker p_2\qquad&p_1(G) \ar[dd]^{f} &\kern-12mm\subset G_1\\
G \ar@{->>}[ru]^-{p_1} \ar[rd]_{p_2} \\
f\circ p_1=p_2\quad&G_2
} \hspace{2cm} \xymatrix@R=5mm{
\ker p_1=\ker p_2\qquad&G_1 \ar[dd]_{\wr|} \\
G \ar@{->>}[ru]^-{p_1} \ar@{->>}[rd]_{p_2} \\
G_1\simeq G_2\quad&G_2
}$$ Du coup, je me demande pourquoi cette propriété n'est pas énoncée dans la théorie des groupes, ou bien est-elle incluse dans un autre théorème ?
Si quelqu'un a une idée.
Merci d'avance.

[;-) AD]

Poirot · October 2020

C'est tout à fait correct, et on trouve ce théorème sous le nom de "théorème de factorisation" en général.

Julia Paule · October 2020

Merci beaucoup Poirot. En effet, je vois : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1414486,1414486. Je ne connaissais pas ce théorème, mais seulement la décomposition canonique d'une application.

Du coup, je comprends mieux pourquoi la propriété universelle du groupe quotient est parfois appelée (donc à tort), "théorème de factorisation", qui lui est plus général.

Donc une démonstration détaillée de la PU du groupe quotient est inutile (comme je l'ai dans mon cours), et de beaucoup de théorèmes me semble-t-il : il suffit d'utiliser le théorème de factorisation.

Enfin, on ne peut pas utiliser ce théorème pour démontrer ceci : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2115016,2115612#msg-2115612, car c'est faux en dimension infinie.

Merci encore.

Maxtimax · October 2020

Pourquoi cette démonstration serait inutile ? C'est le théorème de factorisation qui se déduit de la PU, et c'est elle qui est fondamentale.
Ta généralisation n'est pas énoncée en général, j'imagine, car c'est un corollaire justement quasi-immédiat de la PU: ce n'est pas dans l'autre sens.

Julia Paule · October 2020

??? Le théorème de factorisation s'énonce dans des ensembles quelconques, comme factorisation d'une application entre ensembles. La PU du groupe quotient ne s'énonce que dans les groupes, c'est donc un cas particulier du théorème de factorisation.

Vraiment je ne vois pas comment on peut déduire une propriété générale d'applications entre ensembles, d'une propriété entre groupes.

Mais peut-être veux-tu parler d'une autre PU ?

Maxtimax · October 2020

La PU du quotient s'énonce tout à fait bien dans les ensembles, elle y est vraie, et c'est elle qui implique le théorème de factorisation dans les ensembles.
Il s'ensuit alors qu'on obtient tout ce qu'on veut pour les groupes :-D (et autres structures algébriques, par ailleurs)

Julia Paule · October 2020

?? Le théorème de factorisation s'applique sur des ensembles quelconques, la PU du quotient s'applique sur des ensembles quotients, qui sont des cas particuliers d'ensembles quelconques. J'aurais tendance à penser que le général implique le particulier, pas l'inverse. Si on arrive à le présenter dans le sens inverse, cela ne me parait pas le plus naturel.

Maxtimax · October 2020

Bon je viens de jeter un oeil au lien que tu partages, et il énonce exactement la PU de l'ensemble quotient donc en fait il n'y a pas de différence.

Je croyais que ce que tu appelais factorisation était la version ensembliste de ton premier post, mais c'est exactement la PU du quotient :-D

Julia Paule · October 2020

Ok, je crois que tu fais référence à la théorie des catégories (propriété universelle des structures quotients) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Propriété_universelle.

Maxtimax · October 2020

Bah, il n'est pas nécessaire de parler de catégories, mais ici, oui c'est le bon cadre.

Simplement si j'ai une surjection $g : A\to B$, elle est isomorphe au quotient de $A$ par $\{(x,y)\in A^2 \mid g(x)=g(y)\}$ et donc a la même PU. Celle du quotient est... celle du quotient, celle de $B$ est le "théorème de factorisation", mais ce sont les mêmes

Poirot · October 2020

@Max : il y a tout de même une petite nuance, c'est que, en utilisant la PU de l'ensemble quotient avec les hypothèses données par Julia Paule, on obtient une factorisation $f \circ p_1 = p_2$ avec $f$ une application ensembliste, et il reste à montrer qu'il s'agit d'un morphisme de groupes (ce qui est immédiat je te l'accorde).

Maxtimax · October 2020

Poirot : c'est le cas avec le "théorème de factorisation" aussi de toute façon ;-)
Il va effectivement falloir passer à un moment des ensembles aux groupes, mais au niveau des ensembles factorisation = PU

Julia Paule · October 2020

Pour ma part, je n'ai toujours pas bien compris ce qu'est le théorème de factorisation. Ces 2 énoncés du même théorème sont différents :

1) http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1414486,1414486#msg-1414486
Les ensembles $A, B, C$ et les applications $f : A \rightarrow B, g : A \rightarrow C$ surjective, sont donnés.

2) https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_factorisation
On a deux ensembles $X$ et $Y$, une application $f : X \rightarrow Y$, et $X$ est muni d'une relation d'équivalence $R$.

Se donner une application surjective $g : A \rightarrow C$ telle que $\ker g \subset \ker f$ revient à se donner une relation d'équivalence $R$ sur $A$ et une application surjective $A \rightarrow A/R$, telle que $a R a' \Rightarrow f(a)=f(a')$ ? Dans les 2 cas, on factorise $f=g \circ h$.
Passer de $C$ à la relation d'équivalence $R$, ok. Passer d'un ensemble quotient $X/R$ à un ensemble quelconque $C$ me parait plus discutable.

Maxtimax · October 2020

Je répète : si $g:A\to C$ est une application, $R=\{(x,y)\mid g(x) = g(y)\}$ est une relation d'équivalence sur $A$, et $g$ se factorise comme $A\to A/R\to C$, avec $A/R\to C$ injective. En particulier, si $g$ est surjective, $A/R\cong C$. Donc les deux énoncés sont équivalents.

(si je le connais pour $A/R$, j'écris $C\cong A/R$ et je l'obtiens pour $C$; si je le connais pour $C$ je l'applique à $C=A/R$)

Julia Paule · October 2020

Ok merci Maxtimax. Cela me parait évident maintenant. Pour passer de 2) à 1), on intercale $A/R$ entre $A$ et $C$. Pour passer de 1) à 2), c'est immédiat car l'application $A \rightarrow A/R$ est surjective. Les 2 énoncés sont bien équivalents.