Espaces vectoriels quotients

Merci pour vos réponses.

Je pensais à : si $E/F \cong G$, alors $E=F \oplus G$.

@Math Coss C'est pourquoi cela me paraissait impossible sans précision supplémentaire sur l'isomorphisme.

@Poirot Merci mille fois. On a $E/F = \{0\} \times \mathbb{R} \cong \mathbb{R} \times \{0\}$, mais $\mathbb{R} \times \{0\} \oplus \mathbb{R} \times \{0\} \ne \mathbb{R}^2$.

"soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, alors $F$ admet un supplémentaire dans $E$ qui est isomorphe à $E/F$" : c'est le sens $E=F \oplus G \Rightarrow G \cong E/F$ (je ne vois pas où intervient l'axiome du choix, mais c'est pas grave), puis "la restriction à $G$ de la projection $E \rightarrow E/F$", c'est $E/F = \{u+F, u \in E \}=\{u+F, u \in G \}$.

Merci Math Coss. Mais faut-il en passer par une base, et faut-il utiliser l'axiome du choix ? Reprenons. Supposons que $E/F \simeq G$. Alors l'algèbre linéaire nous dit qu'il existe un sous-espace vectoriel $G_1$ supplémentaire à $F$ dans $E$. On a alors $E=F \oplus G_1$, donc $E/F \simeq G_1 \simeq G$. En l'état, on ne peut rien dire de plus.

On a donc montré : "soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, alors $F$ admet un supplémentaire dans $E$ qui est isomorphe à $E/F$", sans utiliser l'axiome du choix.

Et pour montrer que $E=F \oplus G_1 \Rightarrow E/F \simeq G_1$, j'ai fait (mais c'est peut-être là où je fais erreur) :
soit $f : E \rightarrow G_1, x+y \mapsto y$ , pour $x \in F, y \in G_1$. Alors $F=\ker f$ donc $E/F \simeq G_1$.