Ajouter quelques racines et clôturer
dans Algèbre
Bonjour tout le monde,
Depuis un bon moment un phénomène m'étonne : quand on construit $\mathbb{C}$ comme le quotient $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$, on obtient un corps algébriquement clos. Sait-on caractériser les couples $\left(\mathbb{K},P\right)$ avec $\mathbb{K}$ corps et $P$ dans $\mathbb{K}\left[X\right]$ irréductible tels que $\mathbb{K}\left[X\right]/P$ est algébriquement clos ? Je précise que mes connaissances en algèbre commutative sont faibles. Ainsi, je ne sais pas si cette question est idiote (car trop facile ou trop générale) ou si elle est digne d'intérêt.
M
Depuis un bon moment un phénomène m'étonne : quand on construit $\mathbb{C}$ comme le quotient $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$, on obtient un corps algébriquement clos. Sait-on caractériser les couples $\left(\mathbb{K},P\right)$ avec $\mathbb{K}$ corps et $P$ dans $\mathbb{K}\left[X\right]$ irréductible tels que $\mathbb{K}\left[X\right]/P$ est algébriquement clos ? Je précise que mes connaissances en algèbre commutative sont faibles. Ainsi, je ne sais pas si cette question est idiote (car trop facile ou trop générale) ou si elle est digne d'intérêt.
M
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Réponses
"je ne sais pas si cette question est idiote (car trop facile ou trop générale) ou si elle est digne d'intérêt." ; ta question est tout à fait digne d'intérêt, et d'ailleurs la réponse de Poirot montre bien que c'est une question difficile (le théorème d'Artin-Schreier n'est pas une trivialité).
Intuitivement sur les cardinaux, C[X] est plus gros que R[X].
et R[X] quotienté par quelque chose ne peut pas grossir donc cela ne peut pas être C[X].
On pourrait probablement justifier rigoureusement en introduisant les grands cardinaux.
Mais $\R[X]/(X^2+1)$ est de dimension $2$ sur $\R$, comme $\C$, donc tout va bien.
Alors on a : $\mathbb{R}[X]/(X^2+1) \subsetneq \mathbb{R}[X] \subsetneq \mathbb{C}[X]$, donc on ne peut pas avoir $\mathbb{R}[X]/(X^2+1) = \mathbb{C}[X]$.
pour ma part, et cela a sans doute été dit, $\mathbb{R}\left[X\right]/(X^2+1)$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $2$ sur $\mathbb{R}$ ce qui n'est pas le cas de $\mathbb{C}\left(X\right)$.
M