Isomorphisme canonique de modules/groupes

Bonsoir,

je commence la théorie des modules à travers le livre de Grégory Berhuy. Les notations sont les suivantes :

- $A$ est un anneau,
- $N$ est un $A$-module,
- $(M_i)_{i \in I}$ est une famille de $A$-modules.

Je dois montrer en particulier que l'on a cet isomorphisme canonique de groupes abéliens (et de $A$-modules si $A$ est supposé commutatif) :

$\text{Hom}_A(\coprod_{i \in I} M_i, N) \simeq \prod_{i \in I} \text{Hom}_A(M_i, N)$

où $\coprod_{i \in I} M_i$ est la somme directe externe de la famille $(M_i)_{i \in I}$, c'est-à-dire le $A$-module des éléments de la formes $(x_i)_{i \in I}$ où les composantes sont presques toutes nulles.

Je pensais procéder de cette façon :

- pour un élément $f \in \text{Hom}_A(\coprod_{i \in I} M_i, N)$ et pour tout indice $i$ dans $I$, je définis une restriction $f_i \in \text{Hom}_A(M_i, N)$ par $f_i(x_i) = f((\dots,0,0,\dots,0,x_i,0,\dots,0,\dots))$ pour tout $x_i$ dans $M_i$ ;

- je pose alors $\psi : \text{Hom}_A(\coprod_{i \in I} M_i, N) \to \prod_{i \in I} \text{Hom }_A(M_i, N)$ qui à $f$ lui associe $(f_i)_{i \in I}$ ;

- je montre que c'est l'isomorphisme voulu.

En particulier j'utilise que si $(f_i)_{i \in I}$ est une famille de $A$-morphismes de $M_i$ dans $N$, alors il existe un unique $A$-morphisme de $\coprod_{i \in I} M_i$ dans $N$ tel que la restriction à chaque sous-modules (identifiés) de celui-ci soit égale à $f_i$. Je me demande pourquoi nous n'avons pas un isomorphisme $\text{Hom}_A(\prod_{i \in I} M_i, N) \simeq \prod_{i \in I} \text{Hom}_A(M_i, N)$ en suivant la même logique ? Je me doute que je vais avoir un problème sur l'injectivité (en suivant les mêmes idées que ci-dessus), mais je n'arrive pas à le montrer. Je me demande aussi si le problème ne viendrait pas d'une somme sur $I$ quelconque (pas nécessairement dénombrable) ou ce genre de choses, mais je ne vais pas m'avancer sur ça, je n'en suis pas sûr.

Pouvez-vous m'aider ? Merci.