Suite d'éléments dans un anneau

Bonjour
J'ai un exercice d'Algèbre à traiter (je suis en Master 1 de Cryptographie), l'énoncé est le suivant.

Soit $A$ un anneau et $u = (u_n)$ une suite d'éléments de $A$. On dit que $u$ est périodique s'il existe $T \in N^{*}$ tel que $\forall n \geq 0 ,\ u_{n+T} = u_{n}$. On dit alors que $u$ est périodique de période $T$.
1) Démontrer que toute suite d'éléments de $A$ périodique possède une plus petite période et que cette dernière divise toutes les autres.
2) Soit $u = (u_n)$ une suite périodique d'éléments de $A$ et $d$ un élément non nul de $\mathbb{N}$. On désigne par $per(u)$ la plus petite période de $u$.
a) Démontrer que la suite $v = (u_{dn})$ est périodique.
b) Démontrer $per(v) = \dfrac{per(u)}{pgcd(per(u), d)}$.

N'importe quelle idée m'intéresse !
Merci par avance,
Gal