Coefficient polynôme racine complexe

Si on commençait plus petit ?

Si $f(x)=ax+b$, avec $a$ et $b$ complexes non nuls, vois-tu comment former un polynôme $g$ dont la racine est l'inverse de celle de $f$ ?

Si $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a$, $b$ et $c$ complexes et, disons, $a$ et $c$ non nuls (pourquoi ?). Que penses-tu de $f(x)/x^2$ ?

Note qu'il ne faut pas intervertir le sujet et le verbe dans une proposition interrogative indirecte : « Savez-vous comment je peux... » et pas « Savez-vous comment puis-je... ».

a) Ton traitement de l'exemple est bien tordu :

• tu résous convenablement l'équation pour $f$ mais la racine de $ax+b$ est $-b/a$ et pas $a/b$ (mais on ne sait plus trop qui sont $a$ et $b$, les coefficients de $f$ comme je les ai notés ou ceux de $g$ ?) ;
• ensuite, tu dis $a=-3$ et $b=1$ et tu écris $ix+3i$, je ne vois pas le lien ;
• tu dis « le polynôme $g$ » alors qu'il y a plusieurs polynômes qui ont pour racine $-3$, par exemple $ix+3i$ ou $x+3$.

Enfin, tu proposes quelque chose d'intéressant : il n'y a presque rien à faire si ce n'est bouger les coefficients. Comment ? Voyons le b...

b) L'indication n'était pas assez précise. En tout cas, je ne voulais pas du tout parler de division euclidienne mais de fraction. Bref. Si $z$ est un complexe non nul, comment peut-on écrire $\dfrac{az^2+bz+c}{z^2}$ en faisant apparaître $1/z$ ? Si de plus $z$ est une racine du polynôme $ax^2+bx+c$, que peut-on dire ?

Oui, c'est-à-dire $cx^2+bx+a$ évalué en $1/z$, n'est-ce pas ? Et si $z$ est une racine de $ax^2+bx+c$, que vaut cette expression ?

Pourquoi ne pas répondre à ma question? Quelles sont les racines de f(1/x)?
Ensuite il suffit de simplifier l'équation f(1/x)=0 pour avoir la réponses.

Résoudre $f(\frac 1 x)=0$
Méthode bien connue dès le lycée : On pose $\frac 1 x =X$. On résout $f(X)=0$ puis on trouve $x$.