Si $f(x)=ax+b$, avec $a$ et $b$ complexes non nuls, vois-tu comment former un polynôme $g$ dont la racine est l'inverse de celle de $f$ ?
Si $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a$, $b$ et $c$ complexes et, disons, $a$ et $c$ non nuls (pourquoi ?). Que penses-tu de $f(x)/x^2$ ?
Note qu'il ne faut pas intervertir le sujet et le verbe dans une proposition interrogative indirecte : « Savez-vous comment je peux... » et pas « Savez-vous comment puis-je... ».
a) J'ai pris par exemple $f(x)=3ix+i \in C[x]$ avec $a=3i, b=i$. La racine est $x=-1/3$, son inverse $x^{-1}=-3$.
Pour construire $g(x)=ax+b$ dont la racine est $-3$, je dois avoir $x=a/b=-3$, donc $a=-3,b=1$ et le polynôme $g(x)=ix+3i$.
Ce que j'obtiens c'est qu'on décale l'ordre des coefficients ? vers la gauche ?
b) Pour $f(x)/x^2$ je vais obtenir $ax + b$ comme reste. Mais je vois pas en quoi ça m'aide ? 8-)
tu résous convenablement l'équation pour $f$ mais la racine de $ax+b$ est $-b/a$ et pas $a/b$ (mais on ne sait plus trop qui sont $a$ et $b$, les coefficients de $f$ comme je les ai notés ou ceux de $g$ ?) ;
ensuite, tu dis $a=-3$ et $b=1$ et tu écris $ix+3i$, je ne vois pas le lien ;
tu dis « le polynôme $g$ » alors qu'il y a plusieurs polynômes qui ont pour racine $-3$, par exemple $ix+3i$ ou $x+3$.
Enfin, tu proposes quelque chose d'intéressant : il n'y a presque rien à faire si ce n'est bouger les coefficients. Comment ? Voyons le b...
b) L'indication n'était pas assez précise. En tout cas, je ne voulais pas du tout parler de division euclidienne mais de fraction. Bref. Si $z$ est un complexe non nul, comment peut-on écrire $\dfrac{az^2+bz+c}{z^2}$ en faisant apparaître $1/z$ ? Si de plus $z$ est une racine du polynôme $ax^2+bx+c$, que peut-on dire ?
Pourquoi ne pas répondre à ma question? Quelles sont les racines de f(1/x)?
Ensuite il suffit de simplifier l'équation f(1/x)=0 pour avoir la réponses.
Je ne sais pas comment trouver les racines de $f(1/x)$. $f$ a déjà les racines, est-ce que ce sont les $\alpha_1/x, \alpha_2/x, \alpha_3/x, \alpha_4/x$ ?
Est-ce que je remplace les $x$ par $1/x$ ensuite avec $f(1/x) = 0$ et je cherche les valeurs de $x$ ?
Je boucle : \[0=\frac{az^2+bz+c}{z^2}=\frac{c}{z^2}+\frac{b}{z}+a,\] et normalement c'est terminé. Enfin, il faut remarquer que $\frac{c}{z^2}$, c'est le monôme $cx^2$ où l'on a remplacé $x$ par $1/z$, etc.
Réponses
Quelles sont les racines de f(1/x)? ....
Tu trouveras que $b_1=1/2$
Si $f(x)=ax+b$, avec $a$ et $b$ complexes non nuls, vois-tu comment former un polynôme $g$ dont la racine est l'inverse de celle de $f$ ?
Si $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a$, $b$ et $c$ complexes et, disons, $a$ et $c$ non nuls (pourquoi ?). Que penses-tu de $f(x)/x^2$ ?
Note qu'il ne faut pas intervertir le sujet et le verbe dans une proposition interrogative indirecte : « Savez-vous comment je peux... » et pas « Savez-vous comment puis-je... ».
a) J'ai pris par exemple $f(x)=3ix+i \in C[x]$ avec $a=3i, b=i$. La racine est $x=-1/3$, son inverse $x^{-1}=-3$.
Pour construire $g(x)=ax+b$ dont la racine est $-3$, je dois avoir $x=a/b=-3$, donc $a=-3,b=1$ et le polynôme $g(x)=ix+3i$.
Ce que j'obtiens c'est qu'on décale l'ordre des coefficients ? vers la gauche ?
b) Pour $f(x)/x^2$ je vais obtenir $ax + b$ comme reste. Mais je vois pas en quoi ça m'aide ? 8-)
- tu résous convenablement l'équation pour $f$ mais la racine de $ax+b$ est $-b/a$ et pas $a/b$ (mais on ne sait plus trop qui sont $a$ et $b$, les coefficients de $f$ comme je les ai notés ou ceux de $g$ ?) ;
- ensuite, tu dis $a=-3$ et $b=1$ et tu écris $ix+3i$, je ne vois pas le lien ;
- tu dis « le polynôme $g$ » alors qu'il y a plusieurs polynômes qui ont pour racine $-3$, par exemple $ix+3i$ ou $x+3$.
Enfin, tu proposes quelque chose d'intéressant : il n'y a presque rien à faire si ce n'est bouger les coefficients. Comment ? Voyons le b...b) L'indication n'était pas assez précise. En tout cas, je ne voulais pas du tout parler de division euclidienne mais de fraction. Bref. Si $z$ est un complexe non nul, comment peut-on écrire $\dfrac{az^2+bz+c}{z^2}$ en faisant apparaître $1/z$ ? Si de plus $z$ est une racine du polynôme $ax^2+bx+c$, que peut-on dire ?
Je ne vois pas trop.... Je peux tous diviser par $z^2$ pour obtenir $a+\dfrac{b}{z}+\dfrac{c}{z^2}$ ?
$az^2+bz+c=0$
$az^2+bz=-c$
$z(az+b)=-c$
$az+b=-c * 1/z$
J’espère que je ne suis pas parti très loin... ?
Ensuite il suffit de simplifier l'équation f(1/x)=0 pour avoir la réponses.
Est-ce que je remplace les $x$ par $1/x$ ensuite avec $f(1/x) = 0$ et je cherche les valeurs de $x$ ?
Méthode bien connue dès le lycée : On pose $\frac 1 x =X$. On résout $f(X)=0$ puis on trouve $x$.