Idéal de Z[x] non principal
Bonjour,
j'essaie de résoudre cette question.
a) Il faut montrer que
b) Je ne sais pas comment démontrer que $I$ n'est pas un idéal principal. A vrai dire, je ne vois pas par quel élément de $Z[x]$, $I$ a été engendré ?
Est-ce quelqu'un peut m'éclairer ?
Merci.
j'essaie de résoudre cette question.
a) Il faut montrer que
- $0\in I$, avec $a_0=0$ de $p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ ?
- $0\in I$, alors $I \neq \emptyset$ ?
- $p(x)+q(x)\in I$, avec $p(x)+q(x)=a_1x+...+a_nx^n+...+b_1x+...+b_mx^m+(a_0+b_0)$, puisque $5|a_0$ et $5|b_0$ alors $5|(a_0+b_0)$ ?
- $p(x)*q(x)\in I$, avec $p(x)*q(x)=a_{1}b_{1}x^2*...*a_{n}b_{m}x^{n+m}*(a_0*b_0)$, puisque $5|a_0$ et $5|b_0$ alors $5|(a_0*b_0)$ ?
b) Je ne sais pas comment démontrer que $I$ n'est pas un idéal principal. A vrai dire, je ne vois pas par quel élément de $Z[x]$, $I$ a été engendré ?
Est-ce quelqu'un peut m'éclairer ?
Merci.
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Réponses
Un idéal principal est engendré par un seul élément. Est-ce possible ici ?
-- Schnoebelen, Philippe
Mais c'est bien ça le problème, peux-tu me donner quelques exemple d'éléments le plus simple de cet idéal ?
ex: $0+I, 5+I$ sont dans I ? $5+x$ ?
Comment trouver un élément de I dont 5 et X sont des multiples ?
-- Schnoebelen, Philippe
5X n’engendre pas l’idéal puisque 5 n’est pas un multiple de 5X (il en est en revanche un diviseur strict).
Les multiples de 5X sont bien dans l’idéal mais ils ne sont pas les seuls (il te manque 5, X…)
-- Schnoebelen, Philippe
Mais j'ai dû mal à le comprendre avec les polynômes.
Les éléments de $I$ sont alors, $0+0, 5X+0, 5X^2+0, 5X^2+5x$ ?
Est-ce qu'il s'agit de <$x,5$> ? deux éléments, $x$ et $5$ ?
Tous les éléments de $J$ sont de la forme $X\times P$ avec $P$ un polynôme quelconque de $\mathbb{Z}[X]$. Il est clair que si on évalue en $0$ ces polynômes on obtient la valeur $0$ qui est un nombre divisible par $5$.
Il est clair aussi que l'idéal $K$ engendré par le polynôme constant $5$ appartient aussi à $I$
car tous les éléments de $K$ sont de la forme $5Q$ avec $Q$ un élément quelconque de $\mathbb{Z}[X]$ et si on évalue un élément de $K$ en $0$ on obtient un multiple de $5$ (qui peut être nul).
Si j'ai bien compris, on peut représenter les éléments de $J$ par $f(x)*x$ et les éléments de $K$ par $g(x)*5$. Ainsi on oblige d'une part les éléments de $J$ d'être multiples de $x$ (même le constant $a_0$), d'autre part les éléments de $K$ d'avoir un constant multiple de $5$ (même pour $g(x)=0$ puisque $5$ divise $0$).
On obtient donc:
$I = \{ p(x) \in Z[x]$ | $5$ divise $p(0) \} $
$p(x) = f(x)*x + g(x)*5$ tel que $f(x), g(x) \in Z[x]$
Est-ce que c'est correct ? Si c'est le cas, les éléments de $I$ seront:
et l'élément qui engendre cet idéal se compose de deux éléments: <$x, 5$>.
Il vrai aussi qu'il est dit à nul part que $p(x)$ doit être multiple de $5x$.
Cependant, je ne sais toujours pas comment on démontre qu'il est impossible d'engendrer cet idéal par un seul élément, pour montrer que $I$ n'est pas un idéal principal.
L'idéal $I$ contient une infinité d'éléments.
$I$ est très probablement l'idéal $<X,5>$ mais on ne te le demande pas dans l'exercice si j'ai bien lu et mon message précédent ne le prouve pas.
Si j'ai bien compris, on peut faire une démonstration par l'absurde, en supposant que $I$ est un idéal principal. C'est-à-dire que tous les éléments de $I$ ont été engendré par un seul élément de $Z[x]. $$I$ contient une infinité d'éléments, mais aussi $x$ et $5$. Puisque $I$ est un idéal principal, il existe donc un monôme $p\in Z[x]$ qui divise à la fois $x$ et $5$.
Mais un tél monôme n'existe pas. Alors $I$ n'est pas un idéal principal.
Est-ce que c'est bien ça ?
-- Schnoebelen, Philippe
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Nicolas voulait dire qu'il n'existe pas un tel élément de $\Z[x]$, mais j'ai cru qu'il me demandait "comment" le trouver ?
$pgcd(x,5)$ ? C'est $1$, mais $1$ ne peut pas engendrer $x$ ni $x+5$.
Je démontre qu'il y a bien un morphisme d'anneaux de $\Z[x]$ dans $\Z/2\Z$ (en vérifiant $0$, $1$ et les lois $+, \times$). Ensuite je démontre qu'il y a isomorphisme d'anneaux de $\Z[x]/\ker\phi$ dans $\Z/2\Z$ (en montrant qu'il est injectif et surjectif donc bijectif) ?
Merci.
PS: On n'en a rien à taper que cet homomorphisme soit injectif, surjectif ou que sais-je encore.
PS2:
Evidemment si le noyau de cet homomorphisme est $I$, qui n'est pas réduit au singleton composé de l'élément unique $0$, cet homomorphisme ne sera pas injectif. Mais ce n'est pas ce qui nous intéresse directement ici.
$$
\begin{array}{cccl}
\varphi:& \Z[x] &\longrightarrow &\Z/5\Z \\
&p(x)& \longmapsto& [p(0)]_5.
\end{array}
$$ Soit $p(x) \in \Z[x],\ p(0)=0$
$\varphi(p(0)) = \varphi(0) = [0]_5.$
Soit $p(x) \in \Z[x],\ p(0)=1$
$\varphi(p(1)) = \varphi(1) = [1]_5.$
Soient $p(x), q(x) \in \Z[x],\ (m,n)\in \Z^2,\ p(0)=m,\ q(0)=n$
$\varphi(p(x)+q(x)) = \varphi(m+n) = [m+n]_5 = [m]_5+[n]_5=\varphi(m)+\varphi(n)=\varphi(p(x))+\varphi(q(x))$.
Soient $p(x), q(x) \in \Z[x],\ (m,n)\in \Z^2,\ p(0)=m,\ q(0)=n$
$\varphi(p(x) \times q(x)) = \varphi(m \times n) = [m \times n]_5 = [m]_5 \times [n]_5=\varphi(m) \times \varphi(n)=\varphi(p(x)) \times \varphi(q(x))$.
Donc $\varphi$ est bien un homomorphisme d'anneaux.
Est-ce que cette partie est correcte ?
Le noyau de $\varphi$, $\ker\varphi$ est [formé de] tous les polynômes $p(x) \in \Z[x]$ tels que $\varphi(p(x))=0$.
Cette condition est uniquement vérifié par $p(0)$.
$\varphi(p(0)) = \varphi(0) = [0]_5 \in \Z/5\Z$
Mais est-ce que c'est suffisant pour dire que $\ker\varphi = I$ ?
Merci.
$\varphi(p(x)+q(x)) = [\varphi(m+n)] = [m+n]_5 = [m]_5+[n]_5=[\varphi(m)+\varphi(n)]=\varphi(p(x))+\varphi(q(x))$
Les parties que j'ai encadrées ne me semblent pas correctes stricto sensu. Elles sont inutiles.
PS:
Pourquoi je dis stricto sensu? Parce que on peut considérer que $m,n$ sont des polynômes constants et donc en effet
On a: $\varphi(p(x)+q(x)) = \varphi(m+n)$ mais cette égalité est inutile ici, et cela montre que $\varphi$ n'est pas bien comprise.
PS2:
$\varphi(p)=[p(0)]_5$ le noyau de cet homomorphisme est l'ensemble des polynômes qui évalués en $0$ donnent une valeur qui est nulle modulo $5$ c'est à dire que $5$ divise $p(0)$ c'est équivalent.
Tout cela me parait compliqué. On a $I=5 \mathbb{Z}+ x\mathbb{Z}[x]$.
Pour l'isomorphisme, tu peux décomposer le morphisme $\mathbb{Z}[x] \rightarrow \mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z}$, en deux morphismes :
$s : \mathbb{Z}[x] \rightarrow \mathbb{Z}, f(x) \mapsto f(0)$ et $\pi : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z}$, $a \mapsto \overline {a}$.
Ce sont des morphismes surjectifs évidents (pas la peine de faire des grands calculs).
Il ne reste plus qu'à montrer que $I$ est le noyau du morphisme composé $\pi \circ s$ : soit $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$, alors $\pi \circ s (f(x))=0 \Leftrightarrow ...$
Intuitivement cela se voit car $\mathbb{Z}[x] = \mathbb{Z}+ x\mathbb{Z}[x], I=5 \mathbb{Z}+ x\mathbb{Z}[x]$, et par le quotient, on fusionne $x\mathbb{Z}[x]$ en $0$, il reste $\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z}$. ;-)
Je ne sais pas si cela aide.
Je me disais la même chose en te lisant. B-)-
L"égalité" $I=5 \mathbb{Z}+ x\mathbb{Z}[x]$ n'est pas correcte pour moi.
Ce qui doit être vrai est que l'idéal $I$ est engendré par les deux polynômes $X$ et $5$, c'est à dire que $I=(X,5)$.
Pour cela :
"Tu as seulement à trouver un homomorphisme entre Z[X] et Z/5Z et que cet homomorphisme ait pour noyau l'idéal I défini dans l'énoncé. Le reste est du cours sur sur les anneaux commutatifs.
PS: On n'en a rien à taper que cet homomorphisme soit injectif, surjectif ou que sais-je encore. "
il me semble préférable que l'homomorphisme soit surjectif, pour démontrer l'isomorphisme avec le quotient.
Je te propose de lire la fin de:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_quotient#Propriété_universelle_des_quotients_et_le_premier_théorème_d'isomorphisme
Où vois-tu qu'on ait besoin que l'homomorphisme soit surjectif?
PS:
Bon c'est vrai que dans le cas d'espèce on a besoin que cet homomorphisme soit surjectif.
Mais c'est évident. Puisque l'image de l'ensemble des polynômes constants: $1,2,3,4,5$ est $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$
La condition est nécessaire : pour un morphisme d'anneaux $f : A \rightarrow B$, le morphisme $\tilde {f} : A/I \rightarrow B$ est surjectif ssi $f$ est surjectif.
Il y a un malentendu je pense.
J'avais cru comprendre que tu affirmais que le théorème d'isomorphie sur les anneaux qui est rappelé dans la page mise en lien plus haut suppose que l'homomorphisme dont il est question dans le théorème soit surjectif.
Mais je suis bien d'accord que dans notre cas d'espèce on a besoin de montrer que l'image par l'homomorphisme est l'ensemble but tout entier c'est à dire que l'homomorphisme est surjectif (mais c'est évident).
PS:
Pour être plus clair, la version du théorème d'isomorphie dont je parle est la suivante.
Soit $\varphi$ un homomorphisme d'anneaux (commutatifs) de l'anneau $A$ vers l'anneau $B$.
$A/ker(\varphi)$ est isomorphe à $Im(\varphi)$ (c'est un isomorphisme d'anneaux)
($\varphi$ n'est pas supposé surjectif, c'est un homomorphisme quelconque de $A$ vers $B$.)
En effet, puisque $\mathbb{Z}[x]$ est un anneau commutatif, $I= <5,x>= \{5 P(x) + x Q(x), P(x),Q(x) \in \mathbb{Z}[x] \}$, et il est facile de voir que c'est l'ensemble des polynômes qui s'écrivent : $5 (b_0 + b_1 x + b_2 x^2 +.... b_n x^n) + x (c_0 + c_1 x + c_2 x^2 +.... c_m x^m) = 5 a + a_1 x + a_2 x^2 +.... a_k x^k = 5 a + x(a_1 + a_2 x +.... a_k x^{k-1})$, tous les coefficients $\in \mathbb{Z} $, soit $5 \mathbb{Z} + x \mathbb{Z}[x]$.
$5 \mathbb{Z}$ n'est pas un idéal de $\mathbb{Z}[X]$.
Cordialement,
Rescassol
$5\mathbb{Z}$ est l'ensemble des entiers relatifs multiples de $5$. On peut voir cet ensemble comme un sous-ensemble de $\mathbb{Z}[X]$ mais ce n'est en aucun cas un idéal de cet anneau. En effet, si c'était le cas, on aurait en particulier que $5X$ appartient à $5\mathbb{Z}$ mais ce n'est évidemment pas le cas.
$I=5 \mathbb{Z}+ x\mathbb{Z}[x]$ est une écriture, qui veut dire ce que j'ai explicité dans mon précédent message.
Comme l'est par exemple $\cal{F}$ $= P + F$, $\cal{F}$ sous-espace affine, $P$ un point de cet espace, $F$ la direction de cet espace. Dans cette écriture, $P$ et $F$ ne sont pas de même nature, comme dans l'écriture $5 \mathbb{Z}+ x\mathbb{Z}[x]$.
Mais enfin, il y en a des tas comme ça.::o
l'addition étant ici celle des idéaux de $\mathbb{Z}[X]$ mais $5\mathbb{Z}$ n'est pas un idéal de cet anneau.
Il faut adapter les écritures au contexte, ce que tu ne fais pas visiblement.
Bon j'abandonne.
On comprend bien ce que tu as voulu écrire, on te dit seulement que ce n'est pas l'écriture communément utilisée.
Mais après tout, pourquoi pas, tu as le droit d'inventer ton écriture, mais il faut en être conscient.
Cordialement,
Rescassol
Dans cet exemple, dernier exercice, $B+I$ est la somme d'un sous-anneau de $A$, et d'un idéal $I$ de $A$.
Donc si cela vous parle mieux, $5 \mathbb{Z}$ est un sous-anneau (non unitaire) de $\mathbb{Z}[x]$, et $x \mathbb{Z}[x]$ en est un idéal.
Au cas où vous ne savez pas que les anneaux et les sous-anneaux non unitaires existent : http://serge.mehl.free.fr/anx/ann_corps.html
Après il faut dire que dans l'exercice cité par Julia il est écrit explicitement $B+I=\{b+i \mid b\in B, i\in I\}$ ce qui lève toute ambiguïté.
PS. En fait Julia Paule il n'y a aucun problème à utiliser cette écriture, il faut juste être consciente que quasiment personne ne comprendra... comme tu viens de l'expérimenter B-)-
> Au cas où vous ne savez pas que les anneaux et les sous-anneaux non unitaires existent :
Oui, on appelle ça aujourd'hui un pseudo-anneau. Ce n'était pas le cas autrefois.
Cordialement,
Rescassol
ça ne mérite même pas un merci ?
PS. allez c'est bon j'arrête (:D
Dire que mon slogan, c'est : ON NE DIT JAMAIS L'EVIDENCE, parce qu'elle est évidente justement.
On ne se méfie jamais assez des évidences. B-)-
De mon côté je pense que tu as un problème avec les écritures algébriques Fin de partie : pourquoi en reviens-tu toujours à $X$ et $\mathbb{Z}[X]$, alors qu'il est question de $x$ et de $\mathbb{Z}[x]$ dans l'énoncé ?
-- Schnoebelen, Philippe
Parce que FdP utilise les notations standard et non tes notations personnelles.
Cordialement,
Rescassol
Il est traditionnel pour ne pas confondre une fonction polynomiale et un polynôme d'écrire la "variable" $X$ quand on parle d'un polynôme et non pas $x$.
NB: j'ai mis variable entre guillemets parce que lorsqu'on parle de polynômes la soi-disant variable n'en est pas une puisque elle n'a pas vocation à varier.
PS:
J'ai plus que douze ans d'ancienneté sur le forum. A une époque, qui commence à dater, on pouvait poster sans s'enregistrer. B-)-
J'ai retrouvé un de mes messages qui date de 15 ans:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,239449,239480 (la personne qui utilise le pseudo pauvre aire c'était moi)
Bien évidemment le nombre de messages n'est pas un gage de qualité.
PS2:
Pourquoi faire la distinction entre fonction polynôme et polynôme? Si on considère le polynôme $X+X^2$ dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$ ce n'est pas le polynôme nul, mais la fonction polynôme correspondante est la fonction nulle. ($0+0^2=0$ et $1+1^2=0$ dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$