Polynôme minimal
Bonjour tout le monde.
On se donne $\zeta\in \Q$ une racine primitive 5-ième de l'unité. Son polynôme minimal sur $\Q$ est le polynôme cyclotomique $P=1+X+X^2+X^3+X^4$. Quelqu'un pourrait-il me guider pour déterminer le polynôme minimal de $1+\zeta+\zeta^2$ sur $\Q$ ? Je sais que le polynôme minimal de $\zeta^2$ est aussi $P$ et que celui de $1+\zeta$ est $P(X-1)$. En revanche je ne sais pas utiliser ces informations à partir d'ici, calculer un résultant ? Ou peut-être que l'on peut bidouiller pour trouver une dépendance $\Q$-linéaire des puissances de $1+\zeta+\zeta^2\ ?$
Merci !
On se donne $\zeta\in \Q$ une racine primitive 5-ième de l'unité. Son polynôme minimal sur $\Q$ est le polynôme cyclotomique $P=1+X+X^2+X^3+X^4$. Quelqu'un pourrait-il me guider pour déterminer le polynôme minimal de $1+\zeta+\zeta^2$ sur $\Q$ ? Je sais que le polynôme minimal de $\zeta^2$ est aussi $P$ et que celui de $1+\zeta$ est $P(X-1)$. En revanche je ne sais pas utiliser ces informations à partir d'ici, calculer un résultant ? Ou peut-être que l'on peut bidouiller pour trouver une dépendance $\Q$-linéaire des puissances de $1+\zeta+\zeta^2\ ?$
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Réponses
Soit $x=1+\zeta+ \zeta^2=(1+2\cos(\frac{2\pi}{5}))\zeta$, et soit $\sigma_i$ le morphisme qui envoie $\zeta$ sur $\zeta^i$, pour $i=1,2,3,4$. $\sigma_1$ est l'identité. Tu peux calculer $\sigma_1(x)=x, \sigma_2(x), \sigma_3(x)$ et $\sigma_4(x)$. Ils sont distincts, donc le polynôme minimal de $x$ est de degré $4$.
Je réponds à la question. Comment calculer le polynôme minimal $P_a$ de $a =1+\zeta+\zeta^2,$ dont Marco a justifié qu'il était de degré $4$ .
Il existe bien entendu plusieurs manières de procéder. Celle qui suit me paraît être la plus avare de calculs.
L'application $f_a:\:\:\Q(\zeta) \to \Q(\zeta) ,\quad x\mapsto ax \:$ est $\:\Q$- linéaire. Son polynôme minimal est aussi celui de $a$.
En choisissant la $\Q$-base $\mathcal B=(1,\zeta,\zeta^2, \zeta^3)$ de $\Q(\zeta) $.
$$P_a (X) = \det (X \text I_4- M)\:\:\text{où}\:\: M =\text{Mat}_{\mathcal B} (f_a)=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\1&1&-1&-1 \\1&1&0&-1\\0&1&0&0 \end{pmatrix}.\:\:\:\boxed{P_a(X)=X^4-2X^3+4X^2-3X+1.}$$
Dans tous les cas: Si $\mathbb K$ est une extension finie de $\Q$ , alors: $\:\:\forall a \in \mathbb K, \:\:\:\:\chi (f_a) =P_a^k \:\:\text{avec} \:\: k= \dfrac{[\mathbb K: \Q]}{[\Q(a):\Q]}.\:\:$ Ici $k=1.$
$$
P(X) \; = \; \prod_{i=1}^n \; \prod_{j=1}^m (X - \alpha_i - \beta_j) ,
$$ ce qui donne un polynôme de degré 16 dans ce cas qu'il faut factoriser...
Si $P$ est un polynôme irréductible sur $\Q$ de degré $n$, de racines $\alpha_1, \dots, \alpha_n$, alors il existe un morphisme qui envoie $\alpha_1$ sur $\alpha_k$ pour tout $k=1,\dots,n$.
Ici, $n=p-1$ et $\alpha_k=\zeta^k$, pour $k=1,\dots, p-1$.
Si $x$ a pour polynôme minimal $R$ et si $x$ a $n$ conjugués différents $\sigma_1(x)=x, \sigma_2(x), \dots, \sigma_n(x)$, alors tous les conjugués sont des racines de $R$, donc $R$ est de degré au moins $n$.
On calcule $1+x+x^2,(1+x+x^2)^2,(1+x+x^2)^3,(1+x+x^2)^4,(1+x+x^2)^5$ et on quotiente les résultats par $x^5-1$.
et après on essaie de trouver la bonne combinaison linéaire, en résolvant un système linéaire homogène à cinq inconnues.