Irréductibilité d'un polynôme dans Q[i]

kitanguy
kitanguy
dans Algèbre
Bonjour
Je me permets de vous poser une petite question. Voilà j'ai un petit exercice d'irréductibilité de polynôme qui me pose problème.
Je ne sais pas quelle est la technique pour montrer que
P(X) = X3 + X + 1 est irréductible dans le corps Q(i).
Si quelqu'un peut m'aider.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses !!

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Méthode 1 : Si ce polynôme n'était pas irréductible dans $\mathbb Q(i)$, il admettrait une racine dans $\mathbb Q(i)$ (pourquoi ?). Et on peut chercher à montrer à la main que ce polynôme n'admet pas de racine de la forme $a+bi$ avec $a,b \in \mathbb Q$.

    Méthode 2 : On factorise $P$ dans $\mathbb C[X]$ et on constate qu'aucun de ses facteurs irréductibles n'est dans $\mathbb Q(i)[X]$ (pourquoi est-ce que ça suffit ?).

    Méthode 3 : On trouve un idéal premier convenable $\mathfrak p$ de $\mathbb Z[ i]$ tel que le polynôme n'admette pas de racine dans $\mathbb Z[ i]/\mathfrak p$, ce qui donnera son irréductibilité dans $\mathbb Z[ i]$, et donc dans $\mathbb Q(i)$ (pourquoi ?).
  • kitanguy
    kitanguy
    Merci beaucoup!!
    Je vais essayer la Méthode 3 qui me parait être la plus efficace!
  • Math Coss
    Math Coss
    Le plus efficace (pour ta compréhension, qui devrait être le but), ce serait de faire les trois méthodes.
  • mcd
    mcd
    Pourquoi un polynôme irréductible devient scindé à racines simples dans une clôture algébrique ?
  • Bbidule
    Bbidule
    @mini_calli: pour tout nombre premier $p$, $Y^p-X^p$ est irréductible dans $\mathbb{F}_p\left(X^p\right)[Y]$, mais possède une racine multiple dans l'extension $\mathbb{F}_p(X)$ de $\mathbb{F}_p\left(X^p\right)$...
    Les extensions de corps ne sont pas toutes séparables !
  • gai requin
    gai requin
    @mini-calli : Tu peux montrer que si $P$ est irréductible dans $k[X]$ et si $P'\neq 0$, alors $P$ n'a que des racines simples dans son corps de décomposition.
  • Pea
    Pea
    Il suffit aussi de vérifier que le polynôme de l'énoncé est irréductible sur $\mathbb{Q}$ (pourquoi) ce qui revient à montrer qu'il n'a pas de racines rationnelles.
  • gai requin
    gai requin
    @mini_calli : Soit $P\in k[X]$ irréductible tel que $P'\neq 0$.
    a) Montrer que $P$ ne divise pas $P'$.
    b) Quel est le pgcd de $P$ et $P'$ ?
    c) En déduire que si $a$ est une racine de $P$, alors $a$ n'est pas racine de $P'$.
  • mcd
    mcd
    a) Le polynôme $P$ ne divise pas $P'$ car $0 < deg(P') < deg(P)$ donc on ne peut pas écrire $P' = PQ$ avec $Q \in \mathbb{K}[X]$ non nul.

    b) Comme l'anneau $K[X]$ un polynôme irréductible est aussi premier. On en déduit que les diviseurs de $P$ sont les multiples de $P$ et les inversibles. Puisque le pgcd divise $P'$ on en déduit, en regardant le degré, que le pgcd est $1$. Le pgcd est défini à inversible près et par convention dans $K[X]$ on prend $1$.

    c) Soit $a$ une racine de $P$. Supposons que $a$ est racine de $P'$ alors $X-a$ est un diviseur commun de $P$ et $P'$ et par définition du pgcd $X-a$ divise le pgcd qui est $1$ c'est absurde.
  • mcd
    mcd
    A propos de l'hypothèse $P' \ne 0$. En caractéristique $0$ c'est le cas. Du coup j'imagine que cette hypothèse est utile pour les corps de caractéristique $>0$. A propos de ce cas de figure, je trouve l'exemple de Bbidule un peu compliqué.
  • gai requin
    gai requin
    Dans ton a), on peut avoir $\mathrm{deg}(P')=0$.
    b) $P$ ne divise pas $P'$ donc, pour tout $c\in K$ inversible, $cP$ ne divise pas $P'$.
    Les diviseurs communs de $P$ et $P'$ sont les inversibles de $K$.
  • gai requin
    gai requin
    Un autre "bug" en caractéristique $2$.
    Soit $t$ une indéterminée sur $\mathbb F_2$ et $k=\mathbb F_2(t)$.
    Alors $P=X^2-t$ est irréductible dans $k[X]$ et $P'=0$.
  • mcd
    mcd
    Oui c'est vrai pour la a) je voulais dire $-\infty$. Pour la b) vous voulez me faire remarquez qu'on peut aller plus vite c'est ça ? Merci en tout cas pour l'exo !
  • mcd
    mcd
    Autre petite question commentaire : Soit $Q \in \mathbb{Z}[X]$ et $R \in \mathbb{Z}[X]$ de degré respectif $q,r$. Et $P=QR$.
    Dans $\mathbb{F}_{p}[X]$ on a $\bar{P}(X) = \bar{Q} \bar{R} = \bar{a_{n}} X^{n}$ alors $\bar{Q} = \bar{b_{q}} X^{q}$ et $\bar{R} = \bar{c_{r}}X^{r}$ c'est à dire que les $b_{k}$ et respectivement $r_{k}$ sont tous nuls sauf $1$ et pareil pour les $r_{k}$ respectivement.
    L'argument donnée par l'auteur est l'unicité de la décomposition en facteurs irréductibles dans $\mathbb{F}_{p}[X]$. Et j'aimerais bien comprendre cet argument car moi j'ai fait une récurrence et en examen c'est beaucoup rapide de donner juste une phrase.

    Mais comment appliquer l'unicité ici ?
  • Poirot
    Poirot
    $X$ est le seul facteur irréductible de $\bar P$, donc également de $\bar Q$ et $\bar R$.
  • mcd
    mcd
    Ok merci Poirot.
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