Bonsoir
Je dois démontrer à partir des polynômes interpolateurs de Lagrange que :
Si $\forall k\in\{1,2,\ldots,n\},\quad\displaystyle{\sum_{j=1}^n x_j^k=0},\ $ alors $\ x_1=x_2=\cdots=x_n=0$.
Quelqu'un peut-il me donner une indication ?
Merci.
Rebonjour, s'il s'agit d'employer les polynômes interpolateurs de Lagrange, la question importante est de donner leur caractéristique principale et de l'appliquer à l'écriture de certains polynômes dans le cas où tous les $x_i$ sont distincts (sinon les polynômes de Lagrange n'existent pas...).
Soit $a_1,\ldots,a_r$ les valeurs distinctes prises par les $x_i$ et soient $m_1,\ldots,m_r$ leurs multiplicites respectives. Soit $L_1,\ldots,L_r$ les polynomes de Lagrange associes a $a_1,\ldots,a_r$ . Le polynome $L_j$ satisfait $L_j(a_j)=1$ et $L_j(a_i)=0$ si $i\neq j.$
Avec la remarque de Benjamin on observe que $\sum_{i=1}^rm_ia_iP(a_i)=0$ pour tout polynome $P$ de degre $<n.$ Appliquons cette remarque au polynome $L_j$ . On en tire $m_ja_j=0$ pour tout $j$ et donc $r=1$, $m_1=n$ et $a_1=0.$
@P attention, pour tout polynôme de degré $\le n$, on a $\sum_i P(a_i) = n P(0)$ (et pas $0$). Donc en prenant $L_j$ le polynôme qui interpole $a_j$ par rapport à $(0,a_{i \neq j})$, de degré $\le n$, il vient $m_ja_j=0$. Mais il faut bien penser à ajouter $0$...
Bonjour,
Merci d'avoir pris soin de me répondre mais je ne comprends pas la remarque de S.
Ok pour $\sum_{i=1}^nP(a_i)=nP(0)$ mais je ne vois pas ce que cela donne avec $L_j$ car $\sum_{i=1}^nL_j(a_i)=L_j(a_j)=1$.
@Benjamin, je ne comprends pas ta remarque. Si $P$ est un polynome de degre $\leq n-1$ alors $\sum_{j=1}^n x_iP(x_j)=0,$ nous sommes d'accord? Avec les notations precedentes pour tout polynome $P$ de degre $\leq r-1\leq n-1$ on a donc $\sum_{i=1}^rm_ia_iP(a_i),$ en particulier si $P$ est un des polynomes de Lagrange associe a la suite de points distincts $a_1,\ldots,a_r.$ Il n'y a pas a distinguer les cas ou $0$ fait partie des $a_i$ ou non.
@P. : Je pense que Benjamin a lu trop vite votre post précédent. Vous travaillez avec $Q=XP$, $P$ de degré $\leq n-1$. (tu)
@mlbparis : Selon la démonstration de P., pour tout polynôme $P$ de degré $\leq n-1$, on a $\sum_{i=1}^n x_iP(x_i)=\sum_{i=1}^n Q(x_i)=0$ avec $Q=XP$ de degré inférieur ou égal à $n$ et tel que $Q(0)=0$. Donc $\sum_{i=1}^r m_ia_iP(a_i)=0$. Soit alors $j\in\{1,\dots,r\}$. Pour tout $i\in\{1,\dots,r\}$, $L_j(a_i)=\delta_{i,j}$. Donc, comme $\sum_{i=1}^r m_ia_iL_j(a_i)=0$, on a $m_ja_j=0$ d'où $a_j=0$. Ainsi, pour tout $j\in\{1,\dots,r\}$, $a_j=0$ et par suite, pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, $x_i=0$.
D'ailleurs, ce n'est pas vrai dans un corps quelconque, il faut au moins supposer que sa caractéristique, si elle est non nulle, est supérieure à $n+1$.
Réponses
https://fr.wikipedia.org/wiki/Identités_de_Newton
Avec la remarque de Benjamin on observe que $\sum_{i=1}^rm_ia_iP(a_i)=0$ pour tout polynome $P$ de degre $<n.$ Appliquons cette remarque au polynome $L_j$ . On en tire $m_ja_j=0$ pour tout $j$ et donc $r=1$, $m_1=n$ et $a_1=0.$
Merci d'avoir pris soin de me répondre mais je ne comprends pas la remarque de S.
Ok pour $\sum_{i=1}^nP(a_i)=nP(0)$ mais je ne vois pas ce que cela donne avec $L_j$ car $\sum_{i=1}^nL_j(a_i)=L_j(a_j)=1$.
@mlbparis : Selon la démonstration de P., pour tout polynôme $P$ de degré $\leq n-1$, on a $\sum_{i=1}^n x_iP(x_i)=\sum_{i=1}^n Q(x_i)=0$ avec $Q=XP$ de degré inférieur ou égal à $n$ et tel que $Q(0)=0$. Donc $\sum_{i=1}^r m_ia_iP(a_i)=0$. Soit alors $j\in\{1,\dots,r\}$. Pour tout $i\in\{1,\dots,r\}$, $L_j(a_i)=\delta_{i,j}$. Donc, comme $\sum_{i=1}^r m_ia_iL_j(a_i)=0$, on a $m_ja_j=0$ d'où $a_j=0$. Ainsi, pour tout $j\in\{1,\dots,r\}$, $a_j=0$ et par suite, pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, $x_i=0$.