Polynôme et racines irrationnelles

darbouka
darbouka
dans Algèbre
Bonjour,
J'essaye de montrer que le polynôme $A(x) = x^n + x + 1$ (où $n$ est un entier supérieur ou égal à 2) n'a pas de racine rationnelle.
Par l'absurde, je suppose qu'il existe une racine de la forme $\frac{p}{q}$ où $p \in Z, q \in N^*$ et $PGCD(p, q) = 1$.
On a donc: $A(\frac{p}{q}) = 0 \iff p^n + pq^{n-1} + q^n = 0$ à partir de là j'ai pensé à factoriser par $p$ ou par $q$ mais je bloque et n'arrive pas à trouver la contradiction qui m'arrangerait bien.
Quelqu'un a-t-il une piste à me suggérer?

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    Fais passer $q^n$ dans le membre de droite de l'égalité.
  • Poirot
    Poirot
    Ou plus directement, $q$ divise $0$ donc $q$ divise...
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Il faut faire attention tout de même, de ne pas oublier, qu'a priori, $q$ pourrait valoir $1$.
  • darbouka
    darbouka
    @Fin de partie: en passant $q^n$ de l'autre côté j'obtiens $p^n + pq^{n-1} = - q^n$.
    J'imagine qu'il faut factoriser le membre de gauche, d'où $p(p^{n-1} + q^{n-1}) = - q^n$.
    Donc $p$ est un diviseur de $q^n$, or puisque $p$ et $q$ sont premiers entre eux, il en est de même pour $p$ et $q^n$, et forcément $p= \pm1$ .
    Est-ce que pour l'instant ça tient le route?

    @Poirot: j'avoue ne pas comprendre pourquoi $q$ divise 0
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    $0=0\times q$
    Tout entier divise 0.

    Cordialement.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonjour
    posons la division euclidienne soit :
    $x^n +x + 1$ divisé par $x - \frac{p}{q}$ avec n > 1
    les restes successifs de la division sont
    $\frac{p}{q}x^{n-1} + x + 1$ puis $\frac{p^2}{q^2}x^{n-2} +x + 1$ puis $\frac{p^3}{q^3}x^{n-3}+x+1$
    jusqu'à $\frac{p^{n-1}}{q^{n-1}}x + x +1$ et enfin dernier reste égal à
    $\frac{p^n}{q^n}+\frac{p}{q}+1$ qui n'est certainement pas nul
    donc $\frac{p}{q}$ fraction irréductible ne peut pas être racine du trinôme du nième degré
    cordialement.
  • darbouka
    darbouka
    En lisant le post de Gerard0, j'ai eu bien honte d'avoir demandé pourquoi $q$ divise 0... c'était tellement simple et évident!
    Merci à tous pour vos coup de pouce.
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