Application injective et surjective

OShine · November 2020

Bonjour
J'ai cet exercice suivante dans mon livre, mais il n'est pas corrigé. Il y a juste l'indication d'utiliser le théorème du rang. J'aimerais savoir si mon raisonnement est correct. Merci d'avance.

Existe-il des applications linéaires injectives de $\R^2$ dans $\R$ ? des applications surjectives de $\R$ dans $\R^2$

Mon raisonnement.
Soit $f : \R^2 \longrightarrow \R$ une application injective.
D'après le théorème du rang, $2=\dim (Im \ f)$ car $\ker(f)=\{0\}$
Mais $Im(f) \subset \R$ donc $\dim (Im f) \leq 1$ ce qui donne une contradiction.

Soit $g : \R \longrightarrow \R^2$ une application surjective.
D'après le théorème du rang, $1=\dim (Im \ f)+\dim(\ker f)$

Mais $f$ est surjective donc $Im(f)=\R^2$ donc $1=2+ \dim (\ker f),$ où $\dim (\ker f) \geq 0$ ce qui est absurde.

Donc il n'existe pas de telles applications.

noobey · November 2020

Est-ce que linéaire est précisé?

Si oui c'est ok.

flipflop · November 2020

Salut,

Soit $f : R^2\to R$ une application linéaire, notons $e_1 = (1,0)$ et $e_2 = (0,1)$, comme $(x,y) = xe_1+ye_2$ on a : $f(x,y) = f(e_1)x +f(e_2)y$. Notons alors $a := f(e_1)$ et $b := f(e_2)$ (pour simplifier l'écriture), on a : $f(x,y) = ax+by$.

On a $f(0,0) = f(b,-a)$, je laisse finir.

OShine · November 2020

Ok merci oui j'ai oublié linéaire.

@Flipflop
Je ne vois pas où mène votre raisonnement.

Amathoué · November 2020

Comme flipflop, une application de $\R$ dans $\R^2$ est linéaire si et seulement si ses applications composantes le sont(est-ce clair OS?). Soit l’une des deux est nulle, et alors $(1,1)$ n’a pas d’antécédent. Soit l’application s’écrit $x\mapsto (ax,bx)$ avec $a$ et $b$ réels non nuls. $(1,\frac{b}{a}+1)$ n’a pas d’antécédent.

OShine · November 2020

@Amathoué
Merci.
Encore fallait-il trouver qu'une application linéaire de $\R$ dans $\R^2$ s'écrit forcément sous la forme $x \mapsto (ax,bx)$...

flipflop · November 2020

Salut Oshine,

C'est le début du point de vue matrice sur les applications linéaire.

Soit $f : R \to R^2$ linéaire. Alors pour tout $x \in R$, on a : $f(x) = f( x \times 1) = x f(1)$. On note $f(1) = (a,b)$, et donc $f(x) = x(a,b) = (ax,bx)$.

La matrice de $f$ dans les bases canoniques est alors $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$.

Question si tu veux : comment écrire une application linéaire $f : R^2 \to R^2$ ? Dans le même style !