Application injective et surjective
Bonjour
J'ai cet exercice suivante dans mon livre, mais il n'est pas corrigé. Il y a juste l'indication d'utiliser le théorème du rang. J'aimerais savoir si mon raisonnement est correct. Merci d'avance.
Existe-il des applications linéaires injectives de $\R^2$ dans $\R$ ? des applications surjectives de $\R$ dans $\R^2$
Mon raisonnement.
Soit $f : \R^2 \longrightarrow \R$ une application injective.
D'après le théorème du rang, $2=\dim (Im \ f)$ car $\ker(f)=\{0\}$
Mais $Im(f) \subset \R$ donc $\dim (Im f) \leq 1$ ce qui donne une contradiction.
Soit $g : \R \longrightarrow \R^2$ une application surjective.
D'après le théorème du rang, $1=\dim (Im \ f)+\dim(\ker f)$
Mais $f$ est surjective donc $Im(f)=\R^2$ donc $1=2+ \dim (\ker f),$ où $\dim (\ker f) \geq 0$ ce qui est absurde.
Donc il n'existe pas de telles applications.
J'ai cet exercice suivante dans mon livre, mais il n'est pas corrigé. Il y a juste l'indication d'utiliser le théorème du rang. J'aimerais savoir si mon raisonnement est correct. Merci d'avance.
Existe-il des applications linéaires injectives de $\R^2$ dans $\R$ ? des applications surjectives de $\R$ dans $\R^2$
Mon raisonnement.
Soit $f : \R^2 \longrightarrow \R$ une application injective.
D'après le théorème du rang, $2=\dim (Im \ f)$ car $\ker(f)=\{0\}$
Mais $Im(f) \subset \R$ donc $\dim (Im f) \leq 1$ ce qui donne une contradiction.
Soit $g : \R \longrightarrow \R^2$ une application surjective.
D'après le théorème du rang, $1=\dim (Im \ f)+\dim(\ker f)$
Mais $f$ est surjective donc $Im(f)=\R^2$ donc $1=2+ \dim (\ker f),$ où $\dim (\ker f) \geq 0$ ce qui est absurde.
Donc il n'existe pas de telles applications.
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Réponses
Si oui c'est ok.
Soit $f : R^2\to R$ une application linéaire, notons $e_1 = (1,0)$ et $e_2 = (0,1)$, comme $(x,y) = xe_1+ye_2$ on a : $f(x,y) = f(e_1)x +f(e_2)y$. Notons alors $a := f(e_1)$ et $b := f(e_2)$ (pour simplifier l'écriture), on a : $f(x,y) = ax+by$.
On a $f(0,0) = f(b,-a)$, je laisse finir.
@Flipflop
Je ne vois pas où mène votre raisonnement.
Merci.
Encore fallait-il trouver qu'une application linéaire de $\R$ dans $\R^2$ s'écrit forcément sous la forme $x \mapsto (ax,bx)$...
C'est le début du point de vue matrice sur les applications linéaire.
Soit $f : R \to R^2$ linéaire. Alors pour tout $x \in R$, on a : $f(x) = f( x \times 1) = x f(1)$. On note $f(1) = (a,b)$, et donc $f(x) = x(a,b) = (ax,bx)$.
La matrice de $f$ dans les bases canoniques est alors $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$.
Question si tu veux : comment écrire une application linéaire $f : R^2 \to R^2$ ? Dans le même style !
On a $f(u)=f((x,y))=xy f(1,1) =xy (a,b)=(xya,xyb)$
C'est une application bilinéaire.
On a : $(x,y) = x e_1+ye_2$ ! Avec $e_1 = (1,0) $ et $e_2 = (0,1)$ ...
Il y a une erreur dans la formule encadrée.