Groupe de Lie / présentation d'un groupe
dans Algèbre
Bonjour à tous
Comment montrer que tout groupe de Lie $ G $, compact et simple s'exprime comme l'adhérence d'un sous-groupe $ H $ de $ G $, de présentation finie ?
Merci d'avance.
Comment montrer que tout groupe de Lie $ G $, compact et simple s'exprime comme l'adhérence d'un sous-groupe $ H $ de $ G $, de présentation finie ?
Merci d'avance.
Réponses
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Est-ce que tu saurais définir tous ces termes sans avoir recours à aucun document ?
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J'ai besoin de revoir les définitions, que je n'ai pas vu depuis longtemps. Donc, je suis obligé d'avoir recours à un document. :-)
Voici ce que ça va donner si je n'aie pas recours à un document,
Groupe de Lie : Structure de Groupe + Structure de Variété.
Compact : C'est de la topologie niveau L2.
Simple : C'est la théorie des groupes niveau L2.
Dense : C'est de la topologie niveau L1.
Groupe de présentation finie : C'est quant un groupe $ G $ s'exprime comme $ \langle S \ | \ R \rangle $, avec, $ S $ et $ R $ tous les deux finis. -
Qui peut me donner le corrigé à cet exercice ?
Merci d'avance. -
Ça t'avance à quoi de poser des questions dans lesquelles tu ne connais pas une seule définition ? C'est la preuve même que tu "fais" des maths simplement parce que tu trouves les mots jolis.
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Qui te racontes ça ?
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J'ai une démonstration :
$x^5-x-1$ n'est pas résoluble par radicaux d'après la théorie de Galois.
$x^5-x-1$ est résoluble par radicaux d'après le théorème de Pablo.
Donc ZFC est contradictoire.
Donc toute assertion dans ZFC est démontrable.
En particulier, tout groupe de Lie $G$, compact et simple s'exprime comme l'adhérence d'un sous-groupe $H$ de $G$, de présentation finie. -
J'ai déjà sorti cette démonstration plusieurs fois à Pablo http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2121226,2121810#msg-2121810 , elle ne lui convient pas alors qu'elle est parfaitement valable.
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Pablo, après ces esquives de définitions, tu saurais donner une présentation de $\Z/12\Z$ ou donner une réponse à ta question dans le cas de $\mathrm{SO}_2(\R)$ (sans regarder un document) ?
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Math Coss,
$ \mathbb{Z} / 12 \mathbb{Z} \cong ( \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} )^2 \times \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} $.
D'où, $ \mathbb{Z} / 12 \mathbb{Z} $ est de présentation, $ \langle a,b \ | \ a^2 = b^3 = 1 \ , \ [a,b] = 1 \rangle $.
Est ce que ce n'est pas ça ? -
Math Coss,
$ \mathrm{SO}_2 ( \mathbb{R} ) \cong \mathbb{R} / \mathbb{Z} $, parce que, le groupe des $ \mathbb{R} $ - rotations planes, $ \mathrm{SO}_2 ( \mathbb{R} ) $ est un sous groupe à un paramètre, défini par, $ \varphi \ : \ t \in \mathbb{R} \to e^{tJ} \in \mathrm{SO}_2 ( \mathbb{R} ) $, avec, $ J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $. Non ?
Pourquoi alors, il existe, $ H $ un sous groupe de $ \mathbb{R} / \mathbb{Z} $ de présentation finie, qui lui est dense ?
Il faut peut être prendre, $ H = \mathbb{Q} $. Est ce que c'est ça ? -
Non Z/12Z n'est pas isomorphe à (Z/2Z)²Z/3Z..
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Bonjour,
Il me semble pourtant que si, noobey. -
Il est isomorphe à quoi alors ?
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Oups, dans ma tête c'était isomorphe à $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$
Mais les 2 fonctionnent... -
Noobey, tu modifies ton message et moi je passe pour un idiot après (:P). Du coup, je vais rayer mon message ;-).
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Pardon Calli, je plaide coupable.
Pour les futurs lecteurs Calli n'est pas un idiot !!! :-D -
$ \mathbb{Z} / 12 \mathbb{Z} $ se décompose comment en facteurs irréductibles @noobey en utilisant la classification des groupes abéliens libres ?
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Z/4Z x Z/3Z (théorème des restes chinois)
Mais Z/4Z n'est pas isomorphe à (Z/2Z)² : pourquoi à ton avis? -
A cause de l'ordre des éléments ?
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Comment alors calculer une présentation du groupe $ \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} $ ?
Il faut mettre $ \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} = \{ \ e , a , a^2 , a^3 \ \} $ sous la forme $ \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} = L ( \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} ) / \langle \langle R \rangle \rangle $ avec, $ R $ l'ensemble des relations extraites du tableau de Cayley. Non ?
Comment alors, calculer ce tableau et déduire $ R $ ?
Comment trouver, le groupe libre $ L ( \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} ) $ ? Il faut chercher les générateurs de $ \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} $. Comment trouver les générateurs de $ \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} $ ?
Merci d'avance. -
On a $ L ( \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} ) = \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} $. Non ?
Edit,
Donc, une présentation de $ \mathbb{Z} / 12 \mathbb{Z} $ est $ \langle a,b \ | \ a^3 = b^4 = 1 \ , \ [a,b] = 1 \ \rangle $. Est ce que c'est correct ? -
Ça craint pour la conjecture de Hodge non ?
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Tu t'amuses bien toi comme ça ? Essaye de sortir un cours et le lire attentivement au lieu de venir troller sur le forum, puisqu'il paraît que tu es intéressé par les mathématiques en venant visiter ce forum. Tu n'as rien à gagner en me suivant. Le seul truc qui me dérange personnellement est que tu me casses trop la tête sans aucun but.
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Non.Pablo a écrit:$\Z/12\Z\simeq(\Z/2\Z)^2\times\Z/3\Z$.
Non, cette présentation n'est pas une présentation de $(\Z/2\Z)^2\times\Z/3\Z$ ni de $\Z/12\Z$.D'où, $\Z/12\Z$ est de présentation, $\langle a,b | a^2=b^3=[a,b]=1\rangle$.
Est ce que ce n'est pas ça ?
Pour la suite, il est vrai que $\mathrm{SO}(2)$ est isomorphe à $\R/\Z$ mais le noyau de l'application $\varphi:\R\to\mathrm{SO}(2)$, $t\mapsto\exp(tJ)$ n'est pas $\Z$ mais $2\pi\Z$.
Sauf erreur, la question n'était pas de trouver un sous-groupe dense mais un sous-groupe de présentation finie dense, ce qui n'est pas le cas de $\Q$. Tiens, pour rire, pourquoi ? Et qui prendre à la place de $\Q$ ?Pablo a écrit:Il faut peut être prendre, $H=\Q$. Est ce que c'est ça ?
Ces questions sont rhétoriques, je n'attends pas de réponse (juste, du moins). Je ne suis pas sûr que cela vaille la peine de s'intéresser à la preuve d'un résultat général quand on ne maîtrise pas le cas le plus petit/banal (après, tu aurais pu objecter que $\R/\Z$ n'est pas simple, ce qui n'est pas faux ; il admet tout de même des sous-groupes denses de présentation finie). -
Pablo a écrit:Tu t'amuses bien toi comme ça ?
Je m'amuse beaucoup :-D Se faire traiter de troll par un troll je le prends pour un compliment !
Avec les 30 cours de niveau bac+8 que tu as suivis et dont tu te dis expert, ainsi que tes nombreuses résolutions de conjectures très importantes, c'est toi qui devrais nous aider sur ce forum, pas l'inverse ;-) -
Math Coss a écrit:... après, tu aurais pu objecter que $\R/\Z$ n'est pas simple, ce qui n'est pas faux ; il admet tout de même des sous-groupes denses de présentation finie).
Tu voulais dire que l'énoncé de l'exercice est faux ? -
Non, l'énoncé de l'exercice est correct mais il ne relève pas tout à fait du théorème dont tu crois vouloir une démonstration alors que tu ne comprends déjà pas l'énoncé ni même les ingrédients.
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Peux tu me dire vers quel cours en ligne aller afin de trouver la démonstration de cet exercice posé ?.
En fait, ce n'est pas en réalité un exercice. C'est un résultat du cours qui n'est pas suivi d'une démonstration. C'est moi qui prétendait que c'est un exercice pour qu'on me fournit la réponse rapidement. -
Pas la peine, tu as montré (une fois de plus) que tu ne comprends pas de quoi tu parles.
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Ce n'est pas le résultat d'un cours, c'est une réponse de quelqu'un qui a perdu du temps à te répondre, et dont tu as fait semblant de comprendre la réponse, pour ensuite venir ici te la faire expliquer, ou plutôt, tenter de te la faire servir sur un plateau d'argent sans effort.
https://math.stackexchange.com/questions/3903730/how-to-express-a-lie-group-as-the-image-of-a-monodromy-representation -
Tu n'as pas vu ici, https://math.stackexchange.com/questions/788097/showing-that-every-finitely-presented-group-has-a-4-manifold-with-it-as-its-fu?noredirect=1&lq=1 que c'est du cours. ... ? ( i.e, le lien que @QY m'a indiqué révèle bien qu'il s'agit d'un résultat déjà démontré dans les cours des groupes de Lie ).
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QY a dit qu'il ne sait pas démontrer qu'un groupe de Lie compact possède un sous groupe dense de présentation finie. Si ce résultat est vrai, il ne m'a pas l'air trivial du tout.
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La liste de questions de ce YoYo12 est délirante : de grosses difficultés sur une bijection de $\N^2$ sur $\N$ mais des questions sur les champs, la KK-théorie, etc. Délirante.
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Non, non, je n'ai pas la réponse, si ce n'est dans le cas trivial de $\mathrm{SO}(2)$.
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Donne moi une explication claire pour $ \mathrm{SO} (2) $. Je n'ai pas compris ce que tu voulais dire dans ta première réponse.
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Bonjour à tous,
Comment montrer que la catégorie des groupes de Lie est engendré par la sous catégorie des groupes de Lie simples et compacts ? Ou bien, ce résultat est faux ?
Merci d'avance. -
Quelle logorrhée !
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Bonsoir,
S'il vous plaît,
$ \mathrm{SO}_2 ( \mathbb{R} ) $ est un sous groupe à un paramètre, défini par, $ \varphi \ : \ t \in \mathbb{R} \to e^{tJ} \in \mathrm{SO}_2 ( \mathbb{R} ) $, avec, $ J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $.
Pourquoi alors, il existe, $ H $ un sous groupe de présentation finie, qui lui est dense ?
Merci.
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