Existence du pgcd

Ta question est liée à la structure du treillis des idéaux dans un anneau : le sous-ensemble des idéaux principaux n'est pas en général un treillis pour la relation d'ordre partiel lié à l'inclusion car il se peut qu'une famille d'idéaux engendrés chacun par un seul élément n'ait pas de borne inférieure ou supérieure.

En particulier, pour la borne supérieure, on n'a qu'une condition suffisante : dans un anneau $A$, si la somme de la famille d'idéaux (à gauche, à droite, bilatères) $(I_j)_{j\in J}$ est engendrée par un seul élément, alors la famille $(I_j)_{j\in J}$ admet une borne supérieure dans l'ensemble des idéaux principaux de $A$ égale à cette somme. C'est différent avec l'intersection (on a équivalence).

Ce qu'il faut retenir est que les bornes supérieure et inférieure d'une famille d'idéaux principaux existent toujours dans le treillis $I$ des idéaux, mais pas nécessairement dans le sous-ensemble $P$ des idéaux principaux. Comme dit ci-dessus, si la borne inférieure existe dans $P$, alors il faut et il suffit qu'elle soit égale à la borne inférieure dans $I$. Pour la borne supérieure, ceci n'est plus le cas car la condition est seulement suffisante. En d'autres termes, si la borne supérieure d'une famille d'idéaux principaux existe dans $P$, alors elle n'est pas nécessairement égale à la somme de ces idéaux. Cette différence de comportement induit une différence fondamentale dans le traitement du PGCD et du PPCM.

Pour l'existence dans les anneaux non principaux, la réponse est qu'il existe une classe beaucoup plus grande dans laquelle on peut faire ces constructions. On peut déjà la tenter dans des anneaux commutatifs quelconques en remplaçant les idéaux (tous principaux) par des idéaux qu'on impose d'être principaux, i.e. de la forme $aA$...
Comme l'a dit GaBuZoMeu, il faut aller voir du côté des anneaux de Bézout pour la théorie générale, qui sont précisément ceux dans lesquels la somme de deux idéaux principaux est un idéal principal...