Réduction (oral Mines MP 2012)

Le polynôme $P$ s'écrit $a_1X+\cdots+a_dX^d$ avec $a_1\neq 0$, soit $XQ(X)$, avec $Q(X) = a_1+\cdots+a_dX^{d-1}$ qui n'est pas divisible par $X$. On applique alors le lemme des noyaux...

Cramba ! Grillé par Guégo, l'homme qui poste plus vite que son ombre.

àGuego : Quand $P(f)=0$, cela résulte du lemme des noyaux ?

Youss : de rien !

Guégo : pour moi, l'égalité $\ker P(u)=\mathrm{im\,} Q(u)$ fait partie du théorème lorsque $PQ(u)=0$, avec $P$ et $Q$ premiers entre eux. Cela dit, on peut en discuter...

Tu as sans doute raison, mais on me l'a enseigné avec la précision sur l'image et j'ai toujours conservé cela dans mon propre enseignement, car c'est une information que je juge importante, et ce d'autant plus qu'il est en général plus facile d'établir l'appartenance à un noyau que celle à une image.

c'est vrai ! On a cela aussi... (et ces projecteurs commutent donc avec l'endomorphisme)

Bonsoir, Mini_Calli,

c'est sûr, mon opinion est plus ou moins subjective, mais je reviens au fait qu'est en général plus facile d'établir l'appartenance à un noyau que celle à une image..

Prenons un exemple : si $p$ et $q$ sont deux projecteurs tels que $pq=qp=0$, alors Im $(p+q)=$ Im $p+$ Im $q$. Cela se montre par double inclusion, mais l'inclusion réciproque fait souvent sécher les élèves : si $x=p(y)+q(z)$, pourquoi est-il de la forme $(p+q)(t)$ ? En revanche, cela devient immédiat si l'on vérifie que ce $x$ est dans le noyau de $p+q-{\rm Id}$.

Comme Math Coss me l'a fait remarquer, le fait que les projecteurs sur les facteurs directs sont des polynômes en $f$ est une indication précieuse également : ils commutent, entre autres.

J'espère avoir été convaincant (et avoir répondu à ta question) !

Cordialement, j__j