Nilpotence = négligeabilité

christophe c
christophe c
dans Algèbre
J'ouvre ce fil destiné à n'être rempli que lentement pour collecter une sorte de "kit de pensée" permettant (un peu à la manière de l'analyse non standard) de raisonner "naturellement" sur les matrices avec l'algorithme de pensée titre du fil.

Pour l'heure la seule chose que je sais c'est que

M nilpotente si et seulement si la matrice nulle est dans sa classe de similitude

et je sais prouver EN TRICHANT (ie en permutant des quantificateurs ou autres signes) la plupart des choses "facilement" (ce sont des preuves fausses et vraiment fausses avec des règles fausses) quand il est question de nilpotence.

But: faire de cette ressemblance un truc réellement sérieux et articulé.

C'est pas seulement important pour faire le malin à l'école, mais aussi pour mieux percevoir le quantisme (mécanique quantique) où les matrices sont importantes langagièrement
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Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Si $M$ est nilpotente, alors $1-M$ est inversible, d'inverse $\sum_k M^k$, ça rentre dans ce que tu cherches ?
  • christophe c
    christophe c
    Ah merci! Et oui tout ce qui vient allonger la liste est bon.

    Une fois assez de culture on pourra essayer de voir s'il est possible de "construire une ANS algébrique" autour de ça.
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  • Maxtimax
    Maxtimax
    En un certain sens, ça existe déjà
    Typiquement, prends ton groupe linéaire favori (un groupe du type $SO_n(\R), SL_n(\R)$, des trucs de ce genre) défini par des équations polynomiales

    Alors tu peux obtenir une description de l'espace tangent grâce aux nilpotents (mais pas "matrices nilpotentes') : je prends l'exemple de $O_n(\R)$ et te laisse deviner le reste. Il est défini par $MM^T =I_n$. Ben si on rajoute un $\epsilon$ de carré nul à $\R$, l'espace tangent à $O_n(\R)$ est donné par les $N$ telles que $(M+\epsilon N)(M+\epsilon M)^T = I_n$
    Cela vient essentiellement de ce que si on remplace "$h\to 0$" dans les développements de Taylor par des "$\epsilon^2=0$", on obtient des formules exactes

    Un autre sens en lequel ça existe déjà, c'est la géométrie différentielle synthétique, qui abandonne le tiers exclu mais récupère des définitions comme "la dérivée de $f$ est l'unique application telle que pour tout $x$ et tout $d$ de carré nul, $f(x+d) = f(x)+d f'(x)$". Il y a des modèles qui permettent de relier les résultats de GDS à des résultats en maths usuelles
  • gai requin
    gai requin
    cc a écrit:
    M nilpotente si et seulement si la matrice nulle est dans sa classe de similitude

    Faux départ :-)
  • Amathoué
    Amathoué
    Il faut rajouter diagonalisable :-)
    Edit : ou alors je n’ai pas compris ta phrase cc.
  • Math Coss
    Math Coss
    Il faut ajouter « adhérence » ?
  • christophe c
    christophe c
    Oui pardon j'ai oublié adhérence. Merci. Merci aussi à math coqs je lirai demain, suis au lit là.
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  • Foys
    Foys
    Les matrices importantes en mécanique quantique sont hermitiennes et la seule matrice à la fois hermitienne (donc diagonalisable) et nilpotente est la matrice nulle.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    @foys: oui bien sûr, mais c'est "tout un état d'esprit" qui est en jeu. Je rappelle que si $u\perp v$ alors $(u\otimes x)\perp (v\otimes y)$ qui que soient $x,y$.

    @Math Coss : je précise un point de "spécialisation" de la question, en réponse au grand domaine évoqué par MC. Je m'intéresse particulièrement aux aspects non commutatifs. La nilpotence dans les annaux commutatifs semble déjà pas mal abordée et comprise.

    Je cherche "des tricks" ou des chemins qui permettent de "faire avec du commutatif comme avec du non commutatif" et éventuellement de préciser des corpus algorithmiques de précaution.
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  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone @foys: une matrice quelconque peut tout de même être vue comme une traité de transition (avec proba de disparition)

    Les éléments de l'anneau étant appelés "proba" par principe. (Tu parlais des intégrales de chemin de Feynman mais en gros c'est ça qu'il fait).

    Un chemin est un "état".

    Il y a pas que l'utilisation habituelle qui est envisageable.
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  • christophe c
    christophe c
    J'enregistre une question bleue pour "il est facile de" ici, bien que je ne sache pas si elle est vraiment passionnante.

    On appelle "poids" d'une matrice $M$ nilpotente le plus petit $k$ tel que $M^k=$ la matrice nulle.

    Soit $f$ la fonction qui à chaque $n$ associe la plus petite somme possible de poids d'une liste de nilpotentes de $M_n(K)$ dont la somme est la matrice identité. Est-ce que $f=id_\N$? (Bon, la vraie question c'est "décrire $f$ de manière simple", hein :-D )
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  • Pea
    Pea
    Une somme de matrices nilpotentes est de trace nulle donc ne peut jamais être l'identité. Ou alors j'ai mal compris la question ?
  • christophe c
    christophe c
    Non, non tu as bien compris et .. résolu la question! BRAVO!
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  • christophe c
    christophe c
    Confidence sur le divan, je l'ai écrite juste après avoir pensé au fait qu'il existe des phènomènes marrant permis par la non commutativité, par exemple en dimension 2, l'exemple auquel tout le monde pense de A,B toutes 2 nilpotentes de poids 2 et telles que AB+BA = identité.

    Sachant qu'à côté de ça, on ne JAMAIS avoir, en dimension finie AB-BA = identité

    Bref, paysage exotique (au moins dans ma tête)
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