Nilpotence = négligeabilité
dans Algèbre
J'ouvre ce fil destiné à n'être rempli que lentement pour collecter une sorte de "kit de pensée" permettant (un peu à la manière de l'analyse non standard) de raisonner "naturellement" sur les matrices avec l'algorithme de pensée titre du fil.
Pour l'heure la seule chose que je sais c'est que
M nilpotente si et seulement si la matrice nulle est dans sa classe de similitude
et je sais prouver EN TRICHANT (ie en permutant des quantificateurs ou autres signes) la plupart des choses "facilement" (ce sont des preuves fausses et vraiment fausses avec des règles fausses) quand il est question de nilpotence.
But: faire de cette ressemblance un truc réellement sérieux et articulé.
C'est pas seulement important pour faire le malin à l'école, mais aussi pour mieux percevoir le quantisme (mécanique quantique) où les matrices sont importantes langagièrement
Pour l'heure la seule chose que je sais c'est que
M nilpotente si et seulement si la matrice nulle est dans sa classe de similitude
et je sais prouver EN TRICHANT (ie en permutant des quantificateurs ou autres signes) la plupart des choses "facilement" (ce sont des preuves fausses et vraiment fausses avec des règles fausses) quand il est question de nilpotence.
But: faire de cette ressemblance un truc réellement sérieux et articulé.
C'est pas seulement important pour faire le malin à l'école, mais aussi pour mieux percevoir le quantisme (mécanique quantique) où les matrices sont importantes langagièrement
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Une fois assez de culture on pourra essayer de voir s'il est possible de "construire une ANS algébrique" autour de ça.
Typiquement, prends ton groupe linéaire favori (un groupe du type $SO_n(\R), SL_n(\R)$, des trucs de ce genre) défini par des équations polynomiales
Alors tu peux obtenir une description de l'espace tangent grâce aux nilpotents (mais pas "matrices nilpotentes') : je prends l'exemple de $O_n(\R)$ et te laisse deviner le reste. Il est défini par $MM^T =I_n$. Ben si on rajoute un $\epsilon$ de carré nul à $\R$, l'espace tangent à $O_n(\R)$ est donné par les $N$ telles que $(M+\epsilon N)(M+\epsilon M)^T = I_n$
Cela vient essentiellement de ce que si on remplace "$h\to 0$" dans les développements de Taylor par des "$\epsilon^2=0$", on obtient des formules exactes
Un autre sens en lequel ça existe déjà, c'est la géométrie différentielle synthétique, qui abandonne le tiers exclu mais récupère des définitions comme "la dérivée de $f$ est l'unique application telle que pour tout $x$ et tout $d$ de carré nul, $f(x+d) = f(x)+d f'(x)$". Il y a des modèles qui permettent de relier les résultats de GDS à des résultats en maths usuelles
Faux départ :-)
Edit : ou alors je n’ai pas compris ta phrase cc.
@Math Coss : je précise un point de "spécialisation" de la question, en réponse au grand domaine évoqué par MC. Je m'intéresse particulièrement aux aspects non commutatifs. La nilpotence dans les annaux commutatifs semble déjà pas mal abordée et comprise.
Je cherche "des tricks" ou des chemins qui permettent de "faire avec du commutatif comme avec du non commutatif" et éventuellement de préciser des corpus algorithmiques de précaution.
Les éléments de l'anneau étant appelés "proba" par principe. (Tu parlais des intégrales de chemin de Feynman mais en gros c'est ça qu'il fait).
Un chemin est un "état".
Il y a pas que l'utilisation habituelle qui est envisageable.
On appelle "poids" d'une matrice $M$ nilpotente le plus petit $k$ tel que $M^k=$ la matrice nulle.
Soit $f$ la fonction qui à chaque $n$ associe la plus petite somme possible de poids d'une liste de nilpotentes de $M_n(K)$ dont la somme est la matrice identité. Est-ce que $f=id_\N$? (Bon, la vraie question c'est "décrire $f$ de manière simple", hein :-D )
Sachant qu'à côté de ça, on ne JAMAIS avoir, en dimension finie AB-BA = identité
Bref, paysage exotique (au moins dans ma tête)