Matrice, base et dimension

OShine
OShine
dans Algèbre
Bonjour,

Je redescends sur terre, je m'attaque à des exercices de niveau E3A PC. De toute façon, je ne vise pas de concours, je veux juste progresser en maths. Mon statut de certifié me convient.

Pour la question 1.1, j'ai déjà du mal.

Je veux montrer le résultat par récurrence :

Pour $k=0$ on a $M^k=I_n \in F$

Supposons $P(k)$ vraie. Mais j'a n'arrive pas à passer à $M^{k+1}$ car la relation donne $M^2= \cdots$113074

Réponses

  • raoul.S
    raoul.S
    Peut-être qu'en multipliant ta relation par $M$ tu feras augmenter les puissances... ?
  • Poirot
    Poirot
    Plus abstraitement, quand tu disposes d'un polynôme annulateur $P$ d'une matrice $M$ de degré $d$, alors les puissances $k$-ièmes de $M$ avec $k \geq d$ sont dans $\text{Vect}(I_n, M, \dots, M^{d-1})$. En effet, si on écrit la division euclidienne $X^k = PQ + R$ de $X^k$ par $P$, on obtient $M^k = R(M)$, où $R$ est un polynôme de degré $\leq d-1$, autrement dit $R(M)$ est une combinaison linéaire de $I_n, M, \dots, M^{d-1}$.

    En pratique il suffit de réécrire l'égalité $P(M) = 0$ sous la forme $M^d = \dots$ où le terme de droite ne fait intervenir que des puissances $\leq d-1$ de $M$ et de multiplier par $M$ pour faire fonctionner la récurrence.
  • OShine
    OShine
    Ok merci.

    Soit $k$ fixé.
    L'hypothèse de récurrence fournit $\exists a,b,c \in \R \ M^k=aI_n+b M+cM^2$

    On a $M^{k+1}= M M^k = M (aI_n+b M+cM^2)=aM+bM^2+cM^3$

    Mais $M^3=\dfrac{3}{2}M^2-\dfrac{1}{2} M$

    Donc $M^{k+1}=aM+bM^2+\dfrac{3c}{2}M^2-\dfrac{c}{2} M \\
    =(a-\dfrac{c}{2})M +(b+\dfrac{3c}{2}) M^2=0 \times I_n +(a-\dfrac{c}{2})M +(b+\dfrac{3c}{2}) M^2 \in F$

    Le résultat est démontré par récurrence.

    Déterminons la dimension de $F$ :

    $M^2 \in Vect(M,I_n)$ donc $\dim F \leq 2$

    Ainsi $Vect(F)=Vect(I_n,M)$

    Si $M$ était colinéaire à $I_n$, on aurait $M= \lambda I_n$ et donc $2 ( \lambda I_n)^2=3 \lambda I_n-I_n$

    Donc $(2 \lambda ^2 -3 \lambda +1) I_n=0$ soit $\lambda \in \{1,1/2\}$ ce qui est exclut par l'énoncé.

    Donc $\boxed{F=Vect(I_n,M )}$ et $\boxed{\dim(F)=2}$
  • OShine
    OShine
    Pour la question 1.2 :

    Soit $A,B \in F$.
    Alors $A=aI_n+bM+cM^2$ et $B=a' I_n+b' M+c'M^2$

    On a $AB=(aI_n+bM+cM^2)(a' I_n+b' M+c'M^2)=aa' I_n+ab'M+ac'M^2+ba' M+bb'M^2+bc'M^3+ca'M^2+cb'M^3+cc'M^4$

    D'après la question 1.1, on a $M^3 \in F$ et $M^4 \in F$ donc $AB \in F$

    Est-ce suffisant comme justification ?
  • OShine
    OShine
    Pour la question 1.3, j'ai réussi la moitié.

    Je n'arrive pas à prouver que $(A,B)$ est libre. Cela suffit, car $\dim F=2$

    Pour les calculs, je trouve $\begin{cases}
    AB=BA=0\\
    A^2=-\dfrac{A}{2}\\
    B^2=\dfrac{B}{2}
    \end{cases}$
  • OShine
    OShine
    J'ai finalement réussi à résoudre l'exercice qui est assez simple. Que des calculs et pas trop de réflexion.
  • noobey
    noobey
    Il t'a fallu 13 heures et de l'aide ici quand même...

    C'est beaucoup pour un truc avec 0 réflexion



    Toi c'est bien simple t'as une manie tu as toujours l'une des positions suivantes
    - Soit tu arrives à faire un truc alors c'est trop simple c'est nul 0 réflexion. Prétention quand tu nous tiens.
    - Soit c'est du chinois. Il faut être un génie pour y arriver. Même pas 5% des candidats y arriveraient.


    Jamais le juste milieu!
  • christophe c
    christophe c
    OS a écrit:
    J'ai finalement réussi à résoudre l'exercice qui est assez simple. Que des calculs et pas trop de réflexion.

    Peu importe que ce soit vrai, faux ou vague, je pense que tu perds des secondes de ta vie en créant ce genre d'évaluations-conclusion car en maths elles n'ont pas de sens. Tu as plein de dimension:

    1/ Niveau d'inspiration pour avoir une idée

    2/ Niveau en langage mathématique pour la traduire en preuve formelle

    3/ Niveau en langage académique pour la traduire en preuve semi-rigoureuse acceptée par un correcteur de fac

    4/ Mentalité (la courbe n'est pas du tout linéaire, des démarches très lentes sur des petits trucs de concours sont en fait très victorieuses sur des délais de la semaine ou du mois, et il y a conflit (ie c'est le fait de se perdre dans le labyrinthe qui permet de bien le connaitre)

    5/ Conseil: si tu éprouves un besoin exutoire de publier ces émotions finales, concentre-les dans un fil dédié avec des liens, comme ça :-D tu vas chauffer les habituels commentateurs sportifs et politiques du forum et ça les magnifiera. Mais ne les mets pas dans le même fil où tu as résolu un exo.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • OShine
    OShine
    @Christophe

    Ok merci pour le conseil.
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