Quelques remarques:
1/ Le cerveau anticipe souvent inconsciemment. Il est pertinent de parler d'axiome du choix ici, sauf que c'est un théorème de ZF quand il est particularisé à des ensembles finis.
2/ Soit $A$ un ensemble, $E$ un espace vectoriel, $f\in L(E,E)$ et $w:A\to E$ une famille génératrice de $Ker(f)$. Bon, là, il est "évident" qu'avec l'axiome du choix on peut fabriquer une famille génératrice indicée par $A^2$ de $Ker(f^2)$. Qu'en est-il sans choix?
3/ Le cerveau perçoit aussi certaines "sidérations" liées à l'ensemble vide. Soit $F$ un ensemble fini générant $Ker(f)$. L'existence d'un ensemble $G$, qui est fini et tel que pour tout $u$, si $f(f(u))=0$ alors $\exists v\in G: f(v)=f(u)$ (prouvable mais ayant une forme choix) peut être ralentie dans un esprit par le fait que certains $u$ tel que $f(u)=0$, n'ont pas forcément d'antécédents par $f$.
4/ Comme c'est un étudiant qui pose la question, j'imagine que tous ces éléments, qui vont, non pas peser sur l'idée, mais sur la rédaction rigoureuse d'une preuve, peuvent jouer un grand rôle.
Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Je m’apprêtais à réfléchir à l'existence d'une famille génératrice finie justement.
