$\ker f$ de dimension finie
Bonjour,
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension infinie et $f\in \mathcal L(E)$. On suppose que $\ker f$ est de dimension finie et j'ai besoin de justifier que $\ker f^2$ est aussi de dimension finie.
J'ai considéré l'application linéaire $g : \ker f^2 \rightarrow \ker f,\ x\mapsto f(x)$. Son noyau est $\ker f$ et si on appelle $H$ un supplémentaire de $\ker f$ dans $\ker f^2$, par le théorème de l'isomorphisme induit, l'application $\tilde g : H \rightarrow Im(g),\ x\mapsto f(x)$ est un isomorphisme. Comme $Im g$ est un sev de $\ker f$, alors $Im g$ est de dimension finie, donc $H$ aussi, donc $\ker f^2$ aussi.
J'ai l'impression que c'est juste, mais ça utilise l'existence d'un supplémentaire en dimension infinie et je me demande si on peut s'en passer.
Merci d'avance pour toute idée,
Michal
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension infinie et $f\in \mathcal L(E)$. On suppose que $\ker f$ est de dimension finie et j'ai besoin de justifier que $\ker f^2$ est aussi de dimension finie.
J'ai considéré l'application linéaire $g : \ker f^2 \rightarrow \ker f,\ x\mapsto f(x)$. Son noyau est $\ker f$ et si on appelle $H$ un supplémentaire de $\ker f$ dans $\ker f^2$, par le théorème de l'isomorphisme induit, l'application $\tilde g : H \rightarrow Im(g),\ x\mapsto f(x)$ est un isomorphisme. Comme $Im g$ est un sev de $\ker f$, alors $Im g$ est de dimension finie, donc $H$ aussi, donc $\ker f^2$ aussi.
J'ai l'impression que c'est juste, mais ça utilise l'existence d'un supplémentaire en dimension infinie et je me demande si on peut s'en passer.
Merci d'avance pour toute idée,
Michal
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Réponses
Pas besoin d'axiome du choix !
Soit $\cal B$ une base (finie) de $f(\Ker f^2)$. Soit $\cal B'$ un relèvement de $\cal B$ par $f_{|\Ker f^2}^{|\Ker f}$. J'entends par là que pour chaque $b\in \cal B$, on choisit $b'\in f^{-1}(b)$ et on ajoute $b'$ dans $\cal B'$. Soit $\cal C$ une base de $\Ker f$. Alors $\cal B'\cup C$ est une partie génératrice (finie) de $\Ker f^2$, et même une base. Et il n'y a aucun axiome du choix dans ce raisonnement.
Edit : J'ai modifié ce message. Il comportait une erreur car $f_{|\Ker f^2}^{|\Ker f}$ n'est pas forcément surjective.
1/ Le cerveau anticipe souvent inconsciemment. Il est pertinent de parler d'axiome du choix ici, sauf que c'est un théorème de ZF quand il est particularisé à des ensembles finis.
2/ Soit $A$ un ensemble, $E$ un espace vectoriel, $f\in L(E,E)$ et $w:A\to E$ une famille génératrice de $Ker(f)$. Bon, là, il est "évident" qu'avec l'axiome du choix on peut fabriquer une famille génératrice indicée par $A^2$ de $Ker(f^2)$. Qu'en est-il sans choix?
3/ Le cerveau perçoit aussi certaines "sidérations" liées à l'ensemble vide. Soit $F$ un ensemble fini générant $Ker(f)$. L'existence d'un ensemble $G$, qui est fini et tel que pour tout $u$, si $f(f(u))=0$ alors $\exists v\in G: f(v)=f(u)$ (prouvable mais ayant une forme choix) peut être ralentie dans un esprit par le fait que certains $u$ tel que $f(u)=0$, n'ont pas forcément d'antécédents par $f$.
4/ Comme c'est un étudiant qui pose la question, j'imagine que tous ces éléments, qui vont, non pas peser sur l'idée, mais sur la rédaction rigoureuse d'une preuve, peuvent jouer un grand rôle.
- En effet, j'avais un vague souvenir comme quoi il fallait l'axiome du choix pour justifier l'existence d'un supplémentaire en dimension infinie.
- En effet, la suite exacte de maxtimax ne me parle pas trop :-D