Espace dual

Parce que pour qu'une base de l'image puisse engendrer un élément non nul de l'image, il faut qu'elle contienne au moins un élément. Cela entraîne (même sans axiome du choix) que la dimension de l'image vaut au moins un. Or la relation $\le$ est antisymétrique sur les entiers, de sorte que les relations $\dim\mathop{\mathrm{im}}\omega\le1$ et $\dim\mathop{\mathrm{im}}\omega\ge1$ entraînent (toujours sans axiome du choix) que $\dim\mathop{\mathrm{im}}\omega=1$. J'ai des doutes sur la dernière étape du raisonnement mais un expert pourra peut-être confirmer.

Invoquer « un sous-espace vectoriel $Ky$ » ou « une droite vectorielle incluse dans l'image », qui est un sous-espace de $K$, c'est une façon bien compliquée de dire quelque chose qui (devrait) crève(r) les yeux : l'espace vectoriel $K$ admet exactement deux sous-espaces : $\{0\}$ et $K$.

Exercice subsidiaire : En déduire que toute forme linéaire non nulle est surjective.