Bidual
Bonjour,
On note $E^{**}=\mathcal L_K(E^{*},K)$
Proposition :
En dimension finie, $E^{**}$ est canoniquement isomorphe à $E$. Ceci veut dire qu'on peut construire un isomorphisme de $E$ sur $E^{**}$ sans faire appel à des choix de bases.
J'ai réussi à comprendre la démonstration. On considère l'application :
$\begin{array}[t]{cccl}
\phi : &E &\longrightarrow & E^{**} \\
& x& \longmapsto &\phi_x
\end{array}\ $ où $\ \begin{array}[t]{cccl}
\phi_x :& E^{*}& \longrightarrow &\K \\
& \omega &\longmapsto &\omega(x)
\end{array}$
La remarque suivante, par contre, je me demande si c'est utile que je me penche sur la démonstration :
En dimension infinie, on peut montrer que $\phi$ est injectif, mais il n'est pas surjectif. Donc si la dimension est infinie, $E$ n'est pas isomorphe à $E^{**}$ mais seulement à son image.
Je ne vois pas comment faire.
On note $E^{**}=\mathcal L_K(E^{*},K)$
Proposition :
En dimension finie, $E^{**}$ est canoniquement isomorphe à $E$. Ceci veut dire qu'on peut construire un isomorphisme de $E$ sur $E^{**}$ sans faire appel à des choix de bases.
J'ai réussi à comprendre la démonstration. On considère l'application :
$\begin{array}[t]{cccl}
\phi : &E &\longrightarrow & E^{**} \\
& x& \longmapsto &\phi_x
\end{array}\ $ où $\ \begin{array}[t]{cccl}
\phi_x :& E^{*}& \longrightarrow &\K \\
& \omega &\longmapsto &\omega(x)
\end{array}$
La remarque suivante, par contre, je me demande si c'est utile que je me penche sur la démonstration :
En dimension infinie, on peut montrer que $\phi$ est injectif, mais il n'est pas surjectif. Donc si la dimension est infinie, $E$ n'est pas isomorphe à $E^{**}$ mais seulement à son image.
Je ne vois pas comment faire.
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Réponses
ça fait appel à l'axiome du choix si je ne me trompe pas (il faut choisir des supplémentaires etc...) ; d'autres intervenants pourront me corriger. Il me semble que le site dispose d'une preuve, tu peux la chercher.
Bonne journée.
On n'a pas besoin de cette notion pour montrer l'injectivité. Tu prends $x$ dans le noyau, et tu regardes ce que ça veut dire pour le morphisme évaluation $\phi_x$ (sauf si tu as réussi cette partie et que tu bloques sur la surjectivité ? cf message de christophe c).
Je ne vois pas comment privilégier tel hyperplan plutôt que tel autre quand on a un vecteur $\neq 0$.
Je vous laisse avec OShine.
Bonne soirée.
Je pense que la surjectivité est trop compliquée pour mon niveau si vous commencez à parler d'axiome du choix.
Pour l'injectivité :
$Ker(\phi)= \{x \in E \ | \ \phi_x =0 \}= \{x \in E \ | \ \forall \omega \in E^{*} \ \phi_x(\omega)=0 \}$
Soit $\{e_i\}$ une base de $E$ et $\{\theta_j \}$ une base de $E^{*}$
On a $\forall \theta_j \in E^{*} \ \phi_x(\theta_j)=0$ soit $\theta_j(x)=0$ Mais $\theta_j(x)$ est $j$ ième composante de $x$ dans la base $\{e_i\}$ donc $x=0$.
L'injectivité est conséquence de la définition de l'application nulle n'en déplaise à Christophe.
Pour la non surjectivité, je pense que l'axiome du choix est nécessaire ?
sans l'axiome du choix peut-on exhiber un espace vectoriel qui n'a pas de bases ? $\K^{\N}$ où $\K$ est un corps ?
Je crois que je vais m'arrêter à l'injectivité. Le reste m'a l'air bien compliqué ::o
Il me semble que $\K^{\N}$ n'a pas dans son dual autre chose que $0$ ?
Pour $u\neq 0$, quelle forme $f$ construis-tu sans axiome du choix telle que $f(u)\neq 0$?
si on prend $\cal F\,$$(N,K)$ comme définition de $K^N$, on doit avoir les Dirac dans le dual sans avoir à invoquer l'axiome du choix, non ? J'avoue que les subtilités de l'axiomatique des ensembles me laisse un peu de marbre...
Amicalement, j__j
Si $D$ est l'ensemble des diracs, $vect(D)=\K^{(\N)}$. Oups ! $D$ est libre mais pas génératrice. Pour la compléter en une base, il faut AC.
j'ai sans doute mal interprété ta question, mais il me semblait avoir y lu que $(K^\N)^*$ est réduit à $\{0\}$ ; mis à part cela, j'en conviens, sans l'AC, je vois mal comment prouver l'existence d'une complétion de la famille libre des Dirac et même l'existence d'une base quelle qu'elle soit.
Amicalement, j__j