Transposition et application linéaire
Bonjour,
Je bloque sur plusieurs questions. Je ne comprends pas toutes les indications du livre.
Question 1 :
On a $ f : E \longrightarrow F$ et $\varphi : F \longrightarrow K$, par composition d'applications ${}^t f (\varphi) : E \longrightarrow K$
Question 2 :
Soit $\varphi \in F^{*}$. On utilise l'hypothèse que $\varphi$ est linéaire.
On a ${}^t (\lambda f+g)(\varphi)=\varphi \circ(\lambda f+g)= \varphi \circ (\lambda f)+ \varphi \circ g= \lambda {}^t f+ {}^t g$
Questions 3.a et 3.b :
Linéarité de la composition.
Question 3.c :
Un calcul direct donne ${}^t (f \circ g)(\varphi)=\varphi \circ f \circ g$ et de même ${}^t g \circ {}^t f(\varphi)={}^t g (\varphi \circ f)=\varphi \circ f \circ g$
Question 3.d :
Je ne comprends pas comment démontrer la relation en utilisant la question 4.
Ensuite, je bloque sur les points en rouge. Et sur la question 5 aussi.
Je bloque sur plusieurs questions. Je ne comprends pas toutes les indications du livre.
Question 1 :
On a $ f : E \longrightarrow F$ et $\varphi : F \longrightarrow K$, par composition d'applications ${}^t f (\varphi) : E \longrightarrow K$
Question 2 :
Soit $\varphi \in F^{*}$. On utilise l'hypothèse que $\varphi$ est linéaire.
On a ${}^t (\lambda f+g)(\varphi)=\varphi \circ(\lambda f+g)= \varphi \circ (\lambda f)+ \varphi \circ g= \lambda {}^t f+ {}^t g$
Questions 3.a et 3.b :
Linéarité de la composition.
Question 3.c :
Un calcul direct donne ${}^t (f \circ g)(\varphi)=\varphi \circ f \circ g$ et de même ${}^t g \circ {}^t f(\varphi)={}^t g (\varphi \circ f)=\varphi \circ f \circ g$
Question 3.d :
Je ne comprends pas comment démontrer la relation en utilisant la question 4.
Ensuite, je bloque sur les points en rouge. Et sur la question 5 aussi.
Réponses
-
Je n'ai pas trouvé la (d).
Pour la (e) :
$f$ est bijective donc $f^{-1}$ existe.
J'ai fait ${}^t (f \circ f^{-1})=Id_F={}^t (f^{-1}) \circ {}^t f$ et ${}^t ( f^{-1} \circ f)=Id_E= {}^t f \circ {}^t (f^{-1}) $
Donc ${}^t f$ est bijective de réciproque $ {}^t (f^{-1})$
Je ne comprends pas d'où sort le $ {}^t (id_E)=id_{E^{*}}$ du corrigé :-S
Pour la 4, je ne comprends pas d'où sort la formule encadrée : d'après la matrice pour moi c'est la somme des $b_{\alpha j}$. -
Comme trop souvent, tu fais des erreurs de début de 1ère année post-bac...
Si tu confonds une fonction et l'image d'un élément par cette fonction, il est absolument impossible que tu fasses cet exercice, et encore moins que tu comprennes ce que tu fais.
A la question 1, tu n'as fait qu'une petite partie de ce qu'il faut prouver.
A la question 2, il y a des erreurs monstrueuses.
Aux questions 3a et 3b, je ne peux pas te faire confiance sur ce genre de choses... donc ta justification ne me parait pas suffisante.
A la question 3c, il manque une paire de parenthèses indispensables et des quantificateurs.
Tu ne risques pas de réussir à prouver 3d, puisque c'est faux.
A la question 3e, tu écris à nouveau des énormités, sans te soucier de l'espace dans lequel vivent les objets dont tu parles.
Quant au reste, tu parles de "questions en rouge" et d'encadrés... et nous n'avons rien de tout cela. -
Cet exercice n'est PAS difficile : il demande simplement d'être rigoureux.
Il suffit d'appliquer les définitions et tout vient tout seul. Je pense qu'un ordinateur en serait capable.
Si tu n'y arrives pas, il est temps de te mettre enfin dans la tête que tu ne sais pas appliquer des méthodes de démonstration systématique.
Pour info, j'ai donné en colle un exercice sur cette notion de transposition (qui ne figure pas du tout au programme de ma classe), pendant la première semaine de colles qui portait sur les révisions d'algèbre linéaire, à 4 de mes élèves (pas les meilleurs, loin de là) et tous ont réussi à le faire.
Deux d'entre eux m'ont ensuite demandé à quoi cela correspondait car ils n'avaient pas vraiment compris... mais ils avaient quand même réussi l'exercice car ils ont appliqué des méthodes de démonstration sans se poser de question.
Par ailleurs, ton corrigé est faux. Comme je l'ai dit plus haut, la question 3d ne peut pas être démontrée... et la preuve en est la définition de la transposée qui exclut que les objets des deux côtés de l'égalité habitent dans le même espace.
Le corrigé suppose également que $E$ et $F$ sont de dimension finie à la question 3, ce qui n'est pas supposé par l'énoncé.
Bref, ne te fie pas à ce corrigé. -
Encore une erreur dans le livre de Grifone ? Pourquoi tout le monde sur le forum m'a conseillé ce livre alors qu'il est bourré d'erreurs ?
La question 3.d est fausse car ${}^t f$ est une application de $F^{*}$ dans $E^{*}$ donc il faudrait que $E^{*} \subset F^{*}$ ?
Pour la question 3, je n'ai pas compris où l'auteur utilise que $E$ et $F$ sont de dimension finie :-S -
Oshine a écrit:La question 3.d est fausse car ${}^t f$ est une application de $F^{*}$ dans $E^{*}$ donc il faudrait que $E^{*} \subset F^{*}$ ?
Non ce n'est pas ça. Fais marcher ta logique !
$(f^t)^t$ est une application de quoi vers quoi ? Et essaye de comprendre ce qui ne va pas.
En même temps cela répondra à ta question suivante -
Je ne comprends pas.
Je n'ai jamais manipulé des applications qui ont pour ensemble de départ ou d'arrivée un espace dual. -
Bonsoir,
Mais contente toi d'appliquer la définition !!
Si $f$ va de $E$ vers $F$, ${}^t f$ va de $F^*$ vers $E^*$, d'où peut bien partir ${}^t({}^t f)$ et vers où peut elle bien aller ?
Si ça peut te simplifier les choses, regarde d'abord le cas particulier où $E=F$.
Cordialement,
Rescassol -
Mais on ne peut pas composer il faudrait que E étoile soit inclus dans F étoile.
-
Bonjour,
Je suis sur le même sujet. Ce n'est pas une composition d'application, ${}^t f (\varphi)$ ce n'est pas ${}^t f$ composé avec $\varphi$ (i.e.${}^t f \circ \varphi)$, c'est l'image de $\varphi \in F^*$ par ${}^t f$ (i.e. ${}^t f (\varphi)=\varphi \circ f \in E^*)$ -
@ Oshine : il n'y a aucune composition. Si f est une application linéaire de E dans F, la transposée de f est une application linéaire de F* dans E*.
f : E -> F
f t : F* -> E* (par définition)
Soit g une application linéaire de F* dans E*, alors gt : E** -> F** par définition d'application transposée. Comme E** est canoniquement isomorphe à .... à toi de conclure. -
Bon, des exercices de base sur les ensembles et applications d'un ensemble vers un autre te seraient bien utiles.
Mais laisse tomber provisoirement la question, on y reviendra après.
Est ce que $E^{**}=(E^*)^*$ cela t'évoque quelque chose? -
Si tu aimes bien mumuse avec les composées, alors tu peux tout de même voir que, en dimension finie (et il me semble que tu as ouvert un fil récemment sur l'isomorphisme entre $E$ et son bidual en dimension finie):
Si $\phi : E \to E^{**}$ et $\psi : F \to F^{**}$ sont ces isomorphismes, alors :
$^t (^t f)= \psi \circ f \circ \phi^{-1}$.
Mais en dimension infinie, c'est tendu... -
Os a écrit:J'ai compris que $^t (^t f)$ va de $E^{**}$ dans
$E^{**}$.
Et l'ensemble F il a disparu? Pour $(f^t)^t $ c'est faux ce que tu dis.
Je crois que tu as un problème avec les ensembles de départ et d'arrivée..
Ensuite le second problème qui t'échappe, évidemment, c'est l'identification $E^{**}=E $ (via un isomorphisme). Cette identification est-elle possible?
Tout ça c'est trop difficile pour toi.
Retourne à ton exercice de proba sur la tortue où tu as excellé, que tu devrais terminer et je t'avais proposé une suite pour voir ce que tu auras retenu.
Tu abordes trop de sujet à la fois, c'est possible mais pour les champions! -
J'ai recopié ce qu'a écrit Serge comment ça peut être faux ?
Oui c'est démontré dans le Grifone que E et E étoile étoile sont isomorphes.
Mais je ne vois pas à quoi ce sert ici.
Je ne comprends pas les erreurs d'énonce dont parle Bisam. -
1. D'abord recopier sans rien comprendre ça ne sert à rien.Oshine a écrit:J'ai recopié ce qu'a écrit Serge comment ça peut être faux ?
2. Et ensuite je me demande ce que tu as recopié.
3. Quand on voit ton exercice, au niveau de la question 3 .d, il n'y a aucune raison que $E$ et $E^{**}$ soient isomorphes.
En résumé $(f^t)^t= f$ demande des hypothèses supplémentaires.
Mais comme tu ne sais pas établir les ensembles de départ et d'arrivée, ce qui est élémentaire, évidemment le problème te dépasse et on ne peut rien t'expliquer.
Revoie le message de @Serge -
Hello, je ne sais pas faire un diagramme, AD, si tu passes par là, s’il te plaît, j’essaie d’avoir une flèche de $E^{**}$ vers $F^{**}$ plutôt que l’inverse à gauche de mon diagramme....
$$
\xymatrix{
E^{**} \ar[rr]_{\phi^{-1}} && E \ar[dd]^{f} \\
&& \\
F^{**} \ar[rr]_{\psi^{-1}} \ar@{<-}[uu]^{^t(^t f)} && F
}
$$[Ajoute @{<-} à la flèche que tu veux retourner. ;-) AD] -
@Amathoué
Je n'ai rien compris à ce que vous écrivez avec les $\psi$ et $\phi$, c'est du chinois. Déjà d'où sort le $^t (^t f)= \psi \circ f \circ \phi^{-1}$ ?
@Bd217
Mais pourquoi on doit avoir $E$ et $E^{**}$ isomorphes ?
${}^t ({}^t f) : E^{**} \longrightarrow F^{**}$
Et en quoi ça permet de montrer que ${}^t ({}^t f) =f$ ? A quoi sert l'isomorphisme ? -
Bah non je n'ai rien compris d'où sortent les $\psi$, $\phi$, $\psi^{-}$ et $\phi^{-1}$ et quel est le rapport avec ${}^t f$
-
Oui je l'ai lu je n'ai pas compris l'égalité avec les $\psi$ et $\phi$.
-
Oublie les $\psi$ et $\phi$ pour le moment et regarde simplement le dessin commutatif de
Amathoué. Tu vois bien qu'en suivant le sens des fleches il y a deux façons d'arriver à F en partant de E**. Cela veut dire que le deux applications E** -> E -> F et E** ->F** -> F sont les mêmes.
Le diagramme commutatif de Amathoué ne fait que traduire de manière graphique cette égalité.
Les $\psi$ et $\phi$ ne sont rien d'autre que les isomorphismes entre respectivement F et F** et E et son bidual. -
Je pense qu'il est vraiment inopportun de parler à Oshine de l'isomorphisme entre E et son bidual lorsque E est de dimension finie (même si cet isomorphisme est extrêmement simple...)
Tout le reste de l'exercice peut se faire sans cela... et je pense que c'est déjà suffisamment compliqué pour lui sans qu'il y ait besoin d'en rajouter.
Oshine : Oublie pour l'instant la question 3.d et contente-toi de faire correctement les questions qui restent. Pour l'instant, je n'en ai pas vu une seule qui soit faite entièrement juste, et malheureusement, je commence à te connaître suffisamment que ce n'est pas par flemme ou par souci de concision que tu n'as pas tout écrit. -
Il y a des $\psi$ et $\phi$ donc je ne comprends rien au diagramme.
@Bisam
Ok je recommence.
J'ai pourtant compris la démonstration dans le Grifone qui dit que en dimension finie, $E$ et $E^{**}$ sont isomorphes. Mais je ne sais pas de quoi parlent @Serge et @Amathoué.
Question 1 :
Soit $\varphi \in F^{*}$. ${}^t f(\varphi)=\varphi \circ f$ Or $f : E \longrightarrow F$ et $\varphi : F \longrightarrow \K$ alors par composition $\varphi \circ f : E \longrightarrow K$. Donc $^t f $ est une application de $F^{*}$ dans l'ensemble des applications de $E$ dans $\K$.
Mais $\varphi$ est une forme linéaire et $f$ est linéaire, par composition ${}^t f(\varphi)=\varphi \circ f$ est linéaire.
On a montré que ${}^t f$ applique $F^{*}$ dans $E^{*}$.
Question 2:
Soient $\varphi, \varphi ' \in F^{*}$. Alors ${}^t f(\lambda \varphi + \varphi ')=(\lambda \varphi + \varphi ') \circ f = \lambda \varphi \circ f+\varphi ' \circ f= \lambda {}^t f(\varphi)+ {}^t f(\varphi ') $ donc ${}^t f$ est linéaire.
Question 3.a :
${}^t (f+g)( \varphi )=\varphi \circ (f+g)= \varphi \circ f + \varphi \circ g={}^t f(\varphi)+{}^t g(\varphi)$.
Donc $\boxed{{}^t (f+g)={}^t f+{}^t g}$
Question 3.b :
${}^t (\lambda f)( \varphi )=\varphi \circ ( \lambda f)= \lambda \varphi \circ f$ car $\varphi$ est linéaire.
Donc $\boxed{ {}^t (\lambda f)=\lambda {}^t f}$
Question 3.c :
$({}^t ( f \circ g)( \varphi )=\varphi \circ f \circ g$ et $({}^t g \circ {}^t f) (\varphi)={}^t g (\varphi \circ f)= \varphi \circ f \circ g$
Donc $\boxed{ {}^t ( f \circ g )={}^t g \circ {}^t f }$
Est-ce correct jusque là ? -
Ce qui me pose problème c'est que tu ne précises jamais dans quel(s) ensemble(s) sont tes égalités.
C'est pas la peine de tout revoir mais le cas typique est la question 3.c qui en particulier mérite d'être mieux traitée.
Quels sont les ensembles de départ, d'arrivée de $f$, de $g?$ et $\varphi$ tu le prends dans quoi?
Sans ces précisions pour moi ta réponse n'est pas correcte. -
J'ai pris $\varphi$ dans $F^{*}$ dans tous les cas. Et $f$ et $g$ sont pris dans $E$. C'est juste que c'était trop long à tout réécrire.
Je suis maintenant arrivé à la question 3.d. L'auteur dit qu'elle se démontre facilement à l'aide de la question 4. Je ne vois pas en quoi.
Puis je n'ai pas compris en quoi ça ne marche qu'en dimension finie. -
Os a écrit:J'ai pris $\varphi$ dans $F^{*}$ dans tous les cas. Et $f$ et $g$ sont pris dans $E$. C'est juste que c'était trop long à tout réécrire.
Ta réponse est incorrecte. D'ailleurs "Et $f$ et $g$ sont pris dans $E$." ça ne veut rien dire.
L'argument de dire que c'est long à écrire ne sert qu'à cacher (camoufler) ton problème. -
L'énoncé ne donne pas les ensembles de départ et d'arrivée de $g$.
C'est l'énoncé qui manque de rigueur. -
Quand tu dis que "f et g sont pris dans E" et que $\phi\in F^*$ ce n'est pas la faute de l'énoncé.
Cela vient du fait que tu es capable d'écrire n'importe quoi.
Si l'énoncé ne précise pas les ensembles de départ et d'arrivée de f et de g cela sous-entend que c'est à toi de les préciser pour donner du sens à l'exercice. -
$f \in \mathcal L(E,F)$
Donc $g \in \mathcal L(F,E)$ ainsi $f \circ g$ est bien définie.
Je bloque toujours sur pourquoi la 3.d est fausse en dimension infinie. -
Pour la 3.d tu prends $E=\ell^1(\N).$ A-t-on $E$ et $E^{**}$ isomorphes ?
-
J'étais surchargé au collège avec mon boulot je reviens sur l'exercice. Avec un peu de recul, je pense avoir compris le problème.
Bon je pense abandonner le Grifone une perte de temps, des exercices sans corrigés, des indications incompréhensibles et des erreurs partout.
Il est pire que le Dunod tout en un.
@Bd2017
Sans rentrer dans les détails du pourquoi, d'après le bouquin, $E$ et $E^{**}$ ne sont pas isomorphes en dimension infinie.
Ici ${}^t ({}^t f) : E^{**} \longrightarrow F^{**}$ et comme $f : E \longrightarrow F$ il faudrait que $E \approx E^{**}$ -
Je ne trouve pas comment montrer la question 3.d si on suppose qu'on est en dimension finie.
Le corrigé dit d'utiliser la question 4 avec les matrices mais je ne vois pas.
$M({}^t\! f)_{\psi_j,\varphi_i}={}^t\! A$ mais après ? -
Bonjour,
je profite de ce fil ouvert pour poser une question.
Je souhaiterais revenir sur ce diagramme s'il vous plaît. $$
\xymatrix{
E^{**} \ar[rr]_{\phi^{-1}} && E \ar[dd]^{f} \\
&& \\
F^{**} \ar[rr]_{\psi^{-1}} \ar@{<-}[uu]^{^t(^t\! f)} && F
}
$$ En quoi permet-il d'indiquer que $\quad {^t(^t\! f)} = f$ ?
Par avance, merci. -
Bonjour, le diagramme ne dit pas ça.
Si il est commutatif, on a l'égalité $f\circ \phi^{-1}=\psi^{-1} \circ {^t(^t\! f)}$. -
Merci, mais il me manque un élément que je n'arrive pas à identifier pour conclure à l'égalité $$^t(^t\! f)=f$$ en utilisant ce diagramme.
Puisque cette indication devait permettre de déduire cette égalité en dimension finie.
-
Pour que le diagramme puisse dire ça, il faudrait que les deux isomorphismes ici soient l'identité et qu'on ait $E^{**}=E$ et $F^{**}=F$, ce qui n'est le cas qu'en dimension finie si mes souvenirs sont bons.De toute façon, quand on fait de l'algèbre, il faut garder à l'esprit que beaucoup d'égalités entre structures sont des abus de notations pour des isomorphismes qu'on a la flemme d'expliciter, et que pour des égalités entre applications, c'est pareil avec des "$\circ$ isomorphisme" à droite/gauche à chaque fois.
-
Merci, c'est la conclusion à laquelle j'avais aboutie, sur le fait que ces isomorphismes soient l'identité.
Cependant l'isomorphisme qui permet, en dimension finie de relier un espace vectoriel à son bidual est :
$\begin{array}[t]{cccl}
\phi : &E &\longrightarrow & E^{**} \\
& x& \longmapsto &\phi_x
\end{array}\ $ où $\ \begin{array}[t]{cccl}
\phi_x :& E^{*}& \longrightarrow &K \\
& f &\longmapsto &f(x)
\end{array}$
Je suis donc un peu perdu car je n'ai pas l'impression d'avoir saisi la portée de ce diagramme commutatif.
-
On s'y perd rapidement quand on n'écrit pas les choses très, très soigneusement, en effet.Repartons de $f \circ \phi^{-1} = \psi^{-1} \circ {^t(^t\! f)}$. Les $-1$ m'énervent à alordir la notation donc j'écris ça $\boxed{\psi \circ f = {^t(^t\! f)} \circ \phi}$.Rappel de notre bazar (bon à avoir sous les yeux/bien en tête) :$f : E \longrightarrow F$$\phi : E \longrightarrow E^{**}$, $x \longmapsto \phi_x$ avec $\phi_x : E^* \longrightarrow K$, $u \longmapsto u(x)$$\psi : F \longrightarrow F^{**}$, $y \longmapsto \psi_y$ avec $\phi_y : F^* \longrightarrow K$, $v \longmapsto v(y)$${^t\! f} : F^* \longrightarrow E^*$, $v \longmapsto v \circ f$${^t(^t\! f)} : (E^*)^* \longrightarrow (F^*)^*$, $w \longmapsto w \circ {^t\! f}$$\psi \circ f$ est une application $E \longrightarrow F^{**}$.Si $x \in E$, alors $\psi \circ f(x) = \psi_{f(x)} = [v \in F^* \longmapsto v(f(x)) \in K]$Donc $\psi \circ f : E \longrightarrow F^{**}$ est l'application $x \in E\longmapsto [v \in F^* \longmapsto v(f(x)) \in K] \in F^{**}$.Soit $g = {^t\! f}$. Alors ${^t(^t\! f)} \circ \phi = {^t\! g} \circ \phi : E \longrightarrow (F^*)^*$ est définie pour $x \in E$ par$({^t\! g} \circ \phi)(x) = {^t\! g}(\phi_x) = \phi_x \circ g = \phi_x \circ {^t\! f}$$\phi_x \circ {^t\! f}$ est une application $F^* \longrightarrow K$ (donc un élément de $F^{**}$, on retombe bien sur nos pattes),qui à $v \in F^*$ associe $\phi_x \circ {^t\! f}(v) = \phi_x \big({^t\! f}(v)\big) = \phi_x(v \circ f) = (v \circ f)(x) = v(f(x))$.Donc ${^t(^t\! f)} \circ \phi : E \longrightarrow F^{**}$ est l'application $x\in E \longmapsto [v \in F^* \longmapsto v(f(x)) \in K] \in F^{**}$. C'est bien la même que $\psi \circ f$.
-
Attention en dimension finie $E^{**}$ est isomorphe à $E$ mais ce ne sont pas des égalités, et une fonction identité ne va que d'un ensemble dans lui même.
L'égalité $^t(^tf)=f$ n'est pas vraie. C'est vrai que pour les matrices si tu considères que deux matrices sont égales si et seulement si elles ont la même taille et les mêmes coefficients (en gros que les deux matrices sont égales quand on les voit comme des tableaux de nombres). Ainsi si tu note $A$ la matrice de $f$ et $B$ la matrice de $^t(^tf)$ alors $A=B$ en faisant attention de prendre les bonnes base pour les calculer (bases "classiques" pour $A$ et bases biduales pour $B$).
-
Merci beaucoup pour vos contributions.
Et je remercie particulièrement Homo Topi pour cette épreuve de contorsionnisme.
Donc je récapitule :
La formule $$^t(^t\! f)=f$$ est fausse que l'on soit en dimension finie ou infinie.
Mon incompréhension venait du fait que je pensais que l'intervenant @Amathoué sous-entendait que l'on pouvait démontrer cette égalité en utilisant le diagramme commutatif en dimension finie. J'étais donc bloqué à ce stade.
Cette identité n'est donc pas à mettre en parallèle avec ce qu'il se passe avec la transposition d'une matrice A représentant l'application linéaire f, pour laquelle on a bien $$^t(^t\! A)=A$$.
On obtient une expression y ressemblant dans le monde des applications linéaires modulo des compositions avec des isomorphismes bien choisis.
J'aurais encore quelques questions au sujet de la dualité mais je me demande s'il ne vaut pas mieux ouvrir un autre fil ?
-
Tu peux traduire l'égalité du diagramme en matrice, en remarquant que les compositions se transforment en multiplication matricielle, les matrices de $\psi$ et $\phi$ pour les bonnes bases seront des matrices identités (ça ne contredit pas tout ce qui a été dit avant).
Pour tes autres questions, je pense qu'il faut ouvrir un autre fil. -
En effet !
C'était le chainon manquant pour que cela s'emboîte bien.
Merci !
-
Oui, il vaut mieux ouvrir un autre fil.Effectivement, en remontant, Amathoué n'a jamais écrit d'égalité entre ${^t(^t\! f)}$ et $f$, il a bien mis des isomorphismes là où il faut. Tu as juste voulu aller trop vite : $f$ est une application linéaire de $E$ dans $F$, ${^t(^t\! f)}$ est une application linéaire de $E^{**}$ dans $F^{**}$, pour qu'elles puissent être égales il faudrait déjà qu'elles soient définies entre les mêmes espaces. Et oui, Barjovrille l'a rappelé, un espace et son bidual ne sont pas égaux, donc, pas d'égalité entre ${^t(^t\! f)}$ et $f$ qui tienne. Cependant, et je l'avais rappelé juste au-dessus, en algèbre on s'en fout un peu d'avoir des égalités "pures" si on a des isomorphismes. Si on écrit ${^t(^t\! f)} = \psi \circ f \circ \phi^{-1}$, ça nous dit bien que les applications sont "égales à traduction près", tout comme un isomorphisme entre deux structures algébriques ne dit pas qu'elles sont égales, mais "égales à traduction près". Le diagramme commutatif contient toute cette info, et elle suffit, donc ce n'est pas un problème du tout que ${^t(^t\! f)}$ et $f$ ne soient pas égales.Puisque tu aimes mes contorsions
: faisons un peu attention à ce qui se cache derrière la notation $^t$. Si $\mathcal{M}$ est un espace vectoriel de matrices (flemme de préciser la taille et le corps de base), on peut définir dessus une application $T_\mathcal{M} : \mathcal{M} \longrightarrow \mathcal{M}$, $M \longmapsto {^t\! M}$. Celle-là vérifie $T_\mathcal{M} \circ T_\mathcal{M} = \text{Id}_\mathcal{M}$.Pour les applications linéaires, c'est un peu plus pointu : si tu pars de $f \in \mathcal{L}(E,F)$, alors ${^t\! f}$ est dans $\mathcal{L}(F^*,E^*)$, donc on a une première application (linéaire) $T_1 : \mathcal{L}(E,F) \longrightarrow \mathcal{L}(F^*,E^*)$ dont l'image $T_1(f)$ d'une application $f$ est notée "${^t\! f}$". Maintenant, pour retransposer ça, et obtenir "${^t(^t\! f)}$", tu ne peux plus appliquer $T_1$, puisqu'on n'est plus dans $\mathcal{L}(E,F)$ mais dans $\mathcal{L}(F^*,E^*)$. Donc on introduit une autre application de transposition, $T_1 : \mathcal{L}(F^*,E^*) \longrightarrow \mathcal{L}(E^{**},F^{**})$ dont l'image $T_2(g)$ d'une application $g$ est aussi notée "${^t\! g}$". Donc en fait, notre notation "${^t(^t\! f)}$" désigne $T_2 \circ T_1 \circ f$.Maintenant, si $E$ et $F$ sont de dimensions finies respectives $n$ et $m$, on en fixe des bases respectives $\mathscr{B}$ et $\mathscr{C}$. Je note $\Phi : \mathcal{L}(E,F) \longrightarrow \mathcal{M}_{m,n}(K)$, $u \longmapsto \text{Mat}_{\mathscr{B},\mathscr{C}}(u)$ l'isomorphisme qui associe à une application linéaire $u$ sa matrice dans les bases choisies. Tant que j'y suis, je devrais définir $\Phi^* : \mathcal{L}(F^*,E^*) \longrightarrow \mathcal{M}_{n,m}(K)$, $u \longmapsto \text{Mat}_{\mathscr{C}^*,\mathscr{B}^*}(u)$, et $\Phi^{**} : \mathcal{L}(E^{**},F^{**}) \longrightarrow \mathcal{M}_{m,n}(K)$, $u \longmapsto \text{Mat}_{\mathscr{B}^{**},\mathscr{C}^{**}}(u)$.J'ai donc mon application linéaire $f$, et je pose $A=\Phi(f) = \text{Mat}_{\mathscr{B},\mathscr{C}}(f)$.La théorie nous apprend que $\text{Mat}_{\mathscr{C}^*,\mathscr{B^*}}({^t\! u}) = {^t\big(\text{Mat}_{\mathscr{B},\mathscr{C}}(u)\big)}$. Donc :$\text{Mat}_{\mathscr{B}^{**},\mathscr{C}^{**}}({^t(^t\! f)}) = {^t\big(\text{Mat}_{\mathscr{C}^*,\mathscr{B}^*}({^t\! f})\big)} = {^t\big({^t\big(\text{Mat}_{\mathscr{B},\mathscr{C}}(f)\big)}} = T_\mathcal{M} \circ T_\mathcal{M}(A)=A$.Ce que je réécris en : $\Phi^{**} \circ T_2 \circ T_1 =T_{\mathcal{M}}\circ \Phi^* = T_{\mathcal{M}}\circ T_{\mathcal{M}}\circ\Phi = \Phi$. C'est marrant de voir comment on permute les $\Phi$ et les $T$ là-dedans, et ce sont tous des isomorphismes ! -
Tu as explicité ce qui est souvent indiqué comme "évident" dans certains manuels lorsqu'on transpose deux fois une même matrice.
Il y a toute une machinerie derrière.
Mais je comprends qu'il est plus simple de faire constater au lecteur que lorsqu'on échange deux fois les lignes et les colonnes d'une matrice, on revient à la matrice de départ.
Mais du point de vue des applications linéaires, c'est bien plus complexe qu'il n'y parait. C'est dommage que cela ne soit pas plus développé dans les manuels.
-
Je pense que ça fait partie des trucs où beaucoup d'auteurs se résolvent à "nan mais c'est bon, on comprend". Parce que c'est long à écrire (tu as bien vu) et que c'est vrai que "on comprend" pour les applications les plus usuelles. Cependant, quand il faut aller dans les détails, et ta question nous y obligeait, il faut accepter de se salir un peu les mains.Le truc que moi, je trouve frappant là-dedans, c'est à quel point la transposition est un bordel compliqué à expliciter "en général" (en considérant des applications linéaires abstraites), et à quel point ça se simplifie avec des matrices, où il n'y a plus qu'à changer le sens d'écriture. Beaucoup de cours d'algèbre linéaire commencent par le calcul matriciel, puis essaient d'aller vers le cas général, et du coup dès qu'on sort des matrices et des trucs "numériques" on a de nouveau l'impression que l'algèbre linéaire c'est compliqué. Je suis plutôt d'avis qu'il faudrait commencer SANS les matrices (ni en se restreignant à la dimension finie), pour bien voir que tout espace vectoriel n'est pas un $K^n$ (polynômes, fonctions de l'analyse, suites...) et s'approprier la logique du monde linéaire "formellement", et ensuite montrer à quel point la dimension finie est un parc de jeux avec les matrices et tout l'outillage qui vient avec.
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Tout dépend ce que l'on souhaite faire avec les mathématiques : les appliquer ou en avoir la pleine compréhension.
En effet, si l'on souhaite utiliser la notion de transposée uniquement pour du calcul matriciel, puis l'utiliser dans des algorithmes etc, il est vrai qu'il n'y a pas besoin de comprendre ce qui se cache derrière cette interversion des lignes et des colonnes. On la réalise et le tour est joué. On la réalise encore une fois et on revient à la case départ.
Mais cela n'était pas si évident d'exhiber le fait que l'on retombe sur nos pieds du point de vue des applications linéaires, vue ces enchevêtrements vertigineux d'espaces vectoriels de formes linéaires de formes linéaires etc.
C'est cette occurrence de la formule $^t(^t\! f)=f$ qui a semé le doute en moi sur ce fil de discussion et a donc remis en cause certaines de mes croyances.
Mais ce n'est pas le point de vue que j'adopte, car je souhaitais voir comment cette opération simple se traduisait en terme d'application linéaire, et en avoir donc une compréhension plus profonde.
J'en déduis donc qu'il est donc inutile, en dimension finie, d'étudier un espace dual au-delà du bidual car on finit par retrouver alternativement les structures de $E$ et $E^*$ ?
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