Automorphismes d'une extension de corps
Réponses
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Salut Calli,
le sujet a été évoqué sur mathstack.
Je crois que c’est la démonstration cherchée.
… -
$\def\Aut{\text{Aut}}$Il y a un gars, de nom Emil Artin (1898-1962), dont on dit de lui qu'il a trivialisé la théorie de Galois. D'abord, en revisitant le théorème d'indépendance des morphismes de Dedekind sous une forme plus générale et plus simple. Et en montrant ensuite directement que
1. $[E : E^G] = \#G$
2. $\Aut(E/E^G) = G$.
La correspondance galoisienne devient alors une simple conséquence de ces résultats. -
Une preuve peut-être plus conceptuelle:
Soit $x\in E$, et $\omega$ son orbite sous l'action de $G$. Alors $\prod_{y\in \omega}(X-y)$ est un polynôme annulateur de $x$, et il est instructif de se convaincre qu'il est à coefficients dans $E^G$.
Comme il est à racines simples, $x$ est algébrique séparable sur $E$; de degré $\leq |G|$.
Il s'ensuit que c'est une extension algébrique séparable, et le théorème de l'élément primitif ainsi que la borne sur le degré impliquent que c'est une extension monogène, disons $E^G(x)/E^G$. Alors un automorphisme de $E$ envoie forcément $x$ sur une autre racine de $\prod_{y\in \omega}(X-y)$, i.e. sur un $y\in \omega$, et comme $x$ engendre $E$, cet automorphisme est déterminé par ce $y$. En particulier, $Aut\to \omega, f\mapsto f(x)$ est injective, et à valeurs dans $\omega$, de cardinal $\leq \deg(x) = [E:E^G]$ -
Max a écrit:Alors un automorphisme de $E$ envoie forcément $x$ sur une autre racine de $\prod_{y\in \omega}(X-y)$
Maxtimax, si on invoque le théorème de l’élément primitif, autant considérer le polynôme minimal $\pi_x$ de $x$ sur $E^G$? Du coup, pour tout $\sigma \in Aut(E/E^G)$, $\sigma (x)$ annule $\pi_x$. -
[large][/large]Merci pour vos réponses ! C'est justement pour prouver le théorème d'Artin cité par Claude, que j'ai besoin de ça.
En continuant à lire mon cours, je crois qu'on est censé utiliser un lemme qui suit et qui dit qu'une famille de morphismes de groupe distincts $H\to E^*$ est libre dans $E^H$, avec en l'occurrence $H:=E^*$ et les morphismes considérés sont ceux de ${\rm Aut}(E/E^G)$. Mais ça n'était pas indiqué qu'il fallait utiliser un lemme écrit après, donc je ne comprenais pas :-/.
Sinon, la preuve de Maxtimax est instructive, merci. Je crois qu'elle montre aussi le reste du théorème d'Artin puisqu'elle donne $[E:E^G]=\dim (K[\text{l'élément primitif } x]) \leqslant \deg(\prod_{y\in\omega} (X-y)) = |\omega|\leqslant |G|$.
df : Je n'ai pas encore vu les trucs galoisiens. -
J’ai omis de préciser le contexte.
… -
C'est étrange que "galoisien" s'affiche avec une majuscule alors que j'ai tapé une minuscule... Testons "galois". Idem, alors que je l'ai tapé en minuscules. C'est comme si AD avait ajouté une fonctionnalité qui fait mettre automatiquement une majuscule aux noms propres ^^. Testons "cauchy", "euler". Ah non. Bon, je n'y comprends rien. :-S
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Discriminations ? :-D
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Amathoué : Pour invoquer le théorème il faut bien prouver que l'extension est algébrique, et séparable : c'est le rôle du polynôme que je propose (qui s'avère être exactement le polynôme minimal de $x$)
Calli : oui, cette preuve donne plein de choses à la fois, tout comme le lemme que tu (et Claude) mentionnes - les deux sont intéressants à connaître -
@Calli: Tu as bien raison, ça doit probablement être Alain qui rajouté ça pour Galois (et plein d'autres). J'ai rajouté les deux mathématiciens manquants (pourtant deux des plus grands !) à l'instant. :-D
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Calli,
Je pense pouvoir dire qu'Artin avait plus de recul que nous. Voici, pour commencer, la version ``indépendance des morphismes de Dedekind'', revisitée par ses soins.
Contexte : $(M, \times)$ un monoïde commutatif (avec un élément neutre), $L$ un corps commutatif. Soient $u_1, \cdots, u_n : M \to L$ des morphismes (au sens multiplicatif) distincts. Alors ils sont linéairement indépendants dans le $L$-espace vectoriel $L^M$ des fonctions de $M$ dans $L$. En clair :
$$
[\lambda_1 u_1 + \cdots + \lambda_n u_n = 0 \quad \lambda_i \in L ] \qquad \Rightarrow\qquad \lambda_i = 0 \quad \forall\ i
$$
Il est important de noter qu'au départ l'addition de $L$ n'intervient pas en hypothèse sur les $u_i$. Mais elle intervient en conclusion.
C'est plus général que ``d'habitude'' ? Peut-être. Donc la preuve est plus difficile ? Non, c'est tout le contraire.
Bien entendu, cela va intervenir en théorie des corps comme tu le sais, mais pas que. Exemple : $(M, \times) = (\R, +)$, $L = \C$ et pour $\lambda \in R$, $u_\lambda : \R \to \C$ défini par
$$
u_\lambda(x) = e^{2i\pi \lambda x}
$$
Et le reste de l'approche d'Artin va être du même tonneau : besoin de rien (pas de théorème d'élément primitif, pas d'allusion à la séparabilité ...etc..). Je vais essayer de retrouver qui a dit qu'il avait ainsi trivialisé la théorie de Galois. -
Calli
Je continue à parler de l'approche d'Artin. J'ai écrit $[E : E^G] = \#G$. Mais cette écriture est vraiment une réduction de son résultat. Il n'a pas seulement montré que deux entiers étaient égaux. Il a montré, en notant $n = \#G$ et en posant
$$
G = \{\sigma_1, \cdots, \sigma_n \}
$$les deux points suivants.
A. Il existe $x_1, \cdots, x_n \in E$ tels que $\det(\sigma_i(x_j)) \ne 0$.
B. Toute famille $x_1, \cdots, x_n$ d'éléments de $E$ vérifiant A. est une base de $E/E^G$.
Pour moi, c'est quand même autre chose chose que l'égalité $[E : E^G] = \#G$. -
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2134302,2134418#msg-2134418
Je viens de découvrir cette fonctionnalité ! :-S
Je pense que je vais l'utiliser intensivement :-)
AD -
Zassenhaus décrit l’apport d’Artin sur la question évoquée plus haut.
ps: ce n’est pas possible que la théorie de Galois soit triviale !
Moi qui venais juste de décider d’y consacrer le reste de ma vie…
Encore un mythe qui s’effondre.
… -
Df
Merci pour le texte de Zassenhaus. De mon côté, j'ai cherché où j'avais lu l'apport d'Artin en théorie de Galois mais je n'ai pas retrouvé. Sur le net hier soir, je suis tombé sur un texte de Chevalley http://www.numdam.org/article/BSMF_1964__92__1_0.pdf mais seulement quelques lignes sur la théorie de Galois.
Deux remarques.
1. J'ai dit dans mon dernier post en point B : si $x_1, \cdots, x_n \in E$ vérifient $\det(\sigma_i(x_j)) \ne 0$, alors $(x_1, \cdots, x_n)$ est une base de $E/E^G$. On aurait dû me reprendre aussitôt car encore une fois, je déforme le résultat d'Artin en l'appauvrissant. La vraie vérité est : $(x_1, \cdots, x_n)$ est une base de $E/E^G$ SI ET SEULEMENT SI $\det(\sigma_i(x_j)) \ne 0$.
Bref, quand on parle du ``théorème d'Artin en théorie de Galois'', la première chose à faire est de citer correctement les résultats d'Artin (et donc pas comme je l'ai fait).
2. Le théorème de l'élément primitif, lorsque l'on passe de la théorie des extensions galoisiennes sur les corps à la théorie des algèbres galoisiennes, on l'a dans le c.l si tu vois ce que je veux dire par là. -
Je croyais avoir compris, mais en fait non. Je joins le lemme que j'ai pour qu'on soit d'accord sur ce dont je dispose.
En prenant $M:=E$, "$G$" du lemme $:=M^*$ et $\chi_1,\cdots,\chi_n \in{\rm Aut}(E/E^G)$ distincts (là c'est le $G$ d'Artin, pas celui du lemme), je rentre dans les hypothèses du lemme. Je voudrais en déduire $n\leqslant [E:E^G]$ pour pouvoir dire $|{\rm Aut}(E/E^G)| \leqslant [E:E^G]$ (je ne prends pas directement $\{\chi_1,\cdots,\chi_n\} ={\rm Aut}(E/E^G)$ car je ne sais pas si ${\rm Aut}(E/E^G)$ est fini). Sauf que là j'obtiens que $(\chi_1,\cdots,\chi_n)$ est $E$-libre dans $E^{E^*}$, donc $n\leqslant |E^*|$. Ça n'est pas du tout ce que je voulais faire ! Comment s'y prendre ? -
C'est bon, en fouillant dans les notes manuscrites de ma prof, j'ai trouvé.
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Claude : par rapport à ton 2) : dans les algèbres galoisiennes, le lemme d'indépendance de Dedekind n'est plus vrai non plus, si ?
Enfin je me souviens avoir lu chez Conrad un analogue effectivement - qu'il utilisait pour obtenir la descente galoisienne, mais avec réflexion, on peut tout à fait obtenir cette dernière sans, et comme c'est ça qui m'intéressait je n'y ai pas plus réfléchi...
Calli : Je crois qu'une manière de voir c'est que, comme le remarque Claude, si tu as $f_1,...,f_n : E^*\to E$ linéairement indépendantes, alors tu as $x_1,...,x_n \in E^*$ tels que les $(f_i(x_j))_j$, $i$ variant, soient indépendants, i.e. $\det(f_i(x_j))\neq 0$. Maintenant ai tu as une relation de dépendance linéaire sur les $x_j$ sur $E^G$, en jouant sur les lignes (au lieu des colonnes), ce déterminant va être nul.
L'existence des $x_i$ est un lemme d'algèbre linéaire qui a lui-même 10 000 preuves, au moins une avec déterminant et une sans -
Il paraît que $\det(f_i(x_j))$ s'appelle le déterminant de Casorati, mais je ne connais qu'une démonstration parmi les 10 000, celle qui justement utilise le déterminant, avec une récurrence. Et je n'ai pas trouvé de référence justifiant l'origine de cette appellation.
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Maxtimax
Je ne sais pas ce que signifie le lemme d'indépendance de Dedekind dans les algèbres galoisiennes. Par contre, il y en a un sur les anneaux (commutatifs). Soient $u_1, \cdots u_n : M \to A$ des morphismes multiplicatifs où $M$ est un monoide commutatif avec un élément neutre.
Il faut bien entendu remplacer ``distincts'', qui est une négation dans un contexte général avec laquelle on ne peut rien faire. On met l'hypothèse (positive) que les $u_i$ sont bien séparés deux à deux. Dire que $u_1, u_2$ sont bien séparés signifie que l'idéal $\langle u_1(m) - u_2(m) \mid m \in M\rangle$ est $A$ tout entier. Si $A$ est un corps, c'est pareil qu'avant.
Et la première conclusion est que les $u_i$ sont indépendants dans $A^M$. Mais la vraie conclusion est plus forte et consiste en le certificat de cette indépendance : il existe $M_0 \subset M$ FINIE telle que l'application $U : A^{M_0} \to A^n$ déduite des $u_i$ soit SURJECTIVE. Cette application $U$, c'est celle qui réalise, pour $m \in M_0$
$$
e_m \to (u_1(m), \cdots, u_n(m)) \in A^n \qquad \qquad e_m \text{ élément de base correspondant à } m
$$La surjectivité de $U$ fait que l'indépendance tombe aussitôt. La surjectivité de $U$, c'est du costaud.
Calli, une question indiscrète : comment énonce-t-on à l'école le ``lemme'' (théorème ?) d'Artin ? -
Claude : oui, tu as tout à fait raison, c'est aussi ce que faisait Conrad (et tu m'en as déjà parlé) : il faut que j'arrête d'oublier cette condition :-D
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df a écrit:ce n’est pas possible que la théorie de Galois soit triviale !
Moi qui venais juste de décider d’y consacrer le reste de ma vie…
Encore un mythe qui s’effondre.
Ne t'inquiète surtout pas. Elle ne sera jamais triviale. Il faut une tournure d'esprit pour arriver à se la rappeler, même une fois acquise. Je n'ai jamais réussi à ce qu'il m'en reste quelque chose en mémoire même quand j'ai lu attentivement et doucement.
Je crois que pour l'apprécier, c'est pas le tout d'avoir la bijection, mais faut une sensibilité aux groupes. Sinon s en voyant un groupe tu n'as quasiment aucune idée de s'il est résoluble ou pas, bin tu vas pas forcément accrocher.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Max, merci pour ta réponse.
Ok, mais sinon il me semble que tout $\sigma \in Aut(E/E^G)$ est un $E^G$-morphisme d’algèbre de $E$ sur $\C$. Et il suffit alors de compter le nombre de tels morphismes, qui vaut $[E : E^G]$... mais pour le prouver je crois qu’on est quand même obligé d’utiliser le théorème de l’élément primitif... :-D (j’imagine qu’on envoie naturellement $\sigma$ sur un $\sigma (x)$, lequel $x$, benh... est notre élément précédent...). -
$\def\F{\mathbb F}$Amathoué
Que vient faire $\C$ dans cette histoire ? Si $E = \F_4$ et $G$ est le sous-groupe engendré par le Frobenius de $\F_4/\F_2$, tu vas être mal, non ?
Et introduire des corps algébriquement clos, tu crois que cela ferait plaisir à Artin qui s'est cassé le c.l à ...etc... ? -
Merci Claude, ne connaissant la théorie de Galois que dans un cadre amateur, je n’ai réfléchi que dans le cadre des sous-corps de $\C$
Pas très étendu comme extensions...
Mais oui, dans un cadre général...je ne sais pas faire. -
Je comprends aussi pourquoi Max demandait à montrer que l’extension est « séparable »...
-
Amathoué,
Ok, je comprends vu le cadre des sous-corps de $\C$. C'est bien vrai qu'il faut être prudent lorsque l'on fricote avec la caractéristique $p > 0$ (séparabilité).
Mais, si on veut se limiter à la caractéristique $0$, je trouve que c'est dommage de se limiter aux sous-corps de $\C$. Car il y a aussi le corps $\C(t)$ des fractions rationnelles en $t$ qui peut être une source d'exemples simples. Si, si. Par le plus grand des hasards, je suis en train de faire joujou avec l'homographie
$$
h(t) = {-t - 1 \over t-2}
$$Elle est d'ordre $6$. On peut en faire un automorphisme de $\C(t)$. Et elle nous offre une sous-extension $\C(t)^{\langle h\rangle}$ de la forme $\C(F)$ où $F$ est une certaine fraction rationnelle de hauteur 6.
J'ai $F$ sous la main mais je suis timide, c'est le fil de Calli et je n'ose pas en dire plus. -
Salut Claude,
Le polynôme minimal de $t$ sur $\C(F)$ est $P=(X-t)(X-h(t))\cdots(X-h^5(t))$.
On doit alors pouvoir s'en sortir en traduisant le fait que chaque coefficient de $P$ non constant est une homographie de $F$.
De vieux souvenirs donc je raconte peut-être n'importe quoi... -
Merci Claude.
C’est bien loin tout ça pour moi...
gai requin, comment obtiens-tu qu’une racine de $P$ est un $h^{(i)}(t)$? Ma question est sûrement idiote? -
$\def\SL{\text{SL}}$Gai-Requin,
C'est cela. Mais j'ose pas trop en parler, je le fais quand même un peu parce que c'est toi. Si Calli prévient un modérateur, je risque gros.
J'ai pris pour $F$ le coefficient en $X^1$ de ton polynôme $P$ et j'ai trouvé $F$ sous la forme d'une fraction irréductible de hauteur 6
$$
F = {\text{polynôme en } t \text{ de degré 6} \over t (t-1) (t+1) (t-2) (t - 1/2)}
$$Cela signifie que l'ensemble des $t$, qui sont par $F$ au dessus de $\infty$ i.e. $F(t) = \infty$ est $\{\infty, 0, 1, -1, 2, 1/2\}$. Ce dernier ensemble est invariant par l'involution homographique $s : t \to 1/t$. Cela m'a étonné, j'ai voulu en savoir plus. Voici les puissances de $h$[color=#000000]h^0(t) = t h^1(t) = (-t - 1)/(t - 2) h^2(t) = -1/(t - 1) h^3(t) = (1/2*t - 1)/(t - 1/2) h^4(t) = (t - 1)/t h^5(t) = (2*t - 1)/(t + 1) [/color]
Et $s \circ h \circ s^{-1} = s \circ h \circ s = h^5 = h^{-1}$.[color=#000000]> s := 1/t ; > Evaluate(s, Evaluate(h, s)) ; (2*t - 1)/(t + 1) [/color]
Donc le groupe diédral $D_6$ d'ordre 12 débarque, sous la forme $\langle h, s\rangle$, alors qu'il n'était pas invité.
Peut-être une suite dans un ancien fil sur le groupe dérivé de $\SL_2(\Z)$ si K. Conrad me répond. -
Salut Amathoué,
C'est Lüroth qui dit que $F$ de hauteur $6$ existe.
De plus, $t$ est de degré $6$ sur $\C(F)$ (Artin) et d'après les relations coefficients-racines, les coefficients de $P$ sont fixés par $\langle h\rangle$, le groupe de Galois de l'extension galoisienne $\C(t)/\C(F)$.
Donc $P\in\C(F)[X]$ et $\deg P=6$ : c'est le polynôme minimal de $t$. -
Ah oui d'accord, merci :-), j'ai dû connaître ça un temps...
-
Claude :Claude Quitté a écrit:Calli, une question indiscrète : comment énonce-t-on à l'école le ``lemme'' (théorème ?) d'Artin ?
Comme ça.
PS: Le problème qui m'a fait ouvrir ce fil est réglé, donc si tu veux continuer de discuter algèbre ici, tu le peux sans souci. -
L’inégalité est dans l’autre sens (sauf pour une extension galoisienne)
Edit: ok, je n’ai rien dit!
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