L'existence du ppcm entraîne le pgcd ?

Je pense que tu as mal formulé ta question. Un par un tu n'as aucune garantie. Par contre tout ensemble ordonné complet pour les bornes supérieures est aussi complet pour les bornes inférieures. Mais en général, il faut changer la famille.

Prise individuellement, une famille qui n'a pas de borne inf peut très bien avoir une borne sup.

Tu as confondu deux énoncés (je t'en donne les squelettes):

1/ $\forall x\ [\ R(x)\to S(x)\ ]$

2/ $(\forall xR(x))\to (\forall xS(x))$

Christophe : je ne pense pas, je pense que topopot cherchait une analogie avec l'énoncé que propose Claude, qui est bel et bien local, i.e. "un par un"

Snif, en revenant, j'espérais lire un contre-exemple... :-D

Il est évident que quelque chose ne tourne pas rond dans ce fil.

Par exemple, croire, dans mon dernier post, que c'est l'énoncé 1 (dans un anneau intègre, si deux éléments ont un ppcm, ils ont un pgcd) qui est important invite à croire que l'on va trouver le pgcd sous le sabot d'un cheval. Alors que le dit pgcd sort des données (cf l'énoncé 2).

Et c'est évidemment sur l'énoncé 2 qu'il faut se concentrer. Et aussi sec, s'interroger sur la réciproque : si deux éléments possèdent un pgcd, est ce qu'il possède un ppcm (qui sortirait de ... ??). La réponse est non.

Et cette réponse ``non'' s'accompagne de l'anneau $A = \Z[X^2, X^3] \subset \Z[X]$ dans lequel on trouve tous les contre-exemples présentant les défauts de divisibilité scalaire (j'insiste sur scalaire). Quand je dis ``tous les contre-exemples'', j'exagère un tantinet : je veux dire que jusqu'à maintenant, j'y ai trouvé mon bonheur.

Exemples de défaut de divisibilité : $X^2, X^3$ ont pour pgcd 1 mais ne possède pas de ppcm. $X^5, X^6$ n'ont pas de pgcd a fortiori pas de ppcm.

A propos du fait que $1$ est le pgcd de $X^2, X^3$. C'est un pgcd qualifié de pourri : si tout allait bien dans le meilleur des mondes, une égalité $u X^2 = vX^3$ devrait entraîner l'existence d'un $q$ tel que $u = qX^3$ et $v = qX^2$. Un ``bon'' pgcd 1 devrait satisfaire cela. Or il n'en est rien avec $(u,v) = (X^4, X^3)$. Pour les connaisseurs : on ne dit pas ``pourri'', mais ``défaut de profondeur 2''.

Bref, $\Z[X^2,X^3]$, tout pourri qu'il est en divisibilité, va probablement nous offrir 3 éléments $a,b,c$ possédant un ppcm mais pas de pgcd (qui viendrait d'où, au fait ??). Et de plus $\Z[X^2, X^3]$ étant contenu dans $\Z[X]$, le contrôle des défauts de divisibilité est simple.

Aparté pour les connaisseurs : $\Z[X^2, X^3]$ n'est pas intégralement clos. Pour les géomètres : renommer $X$ en $t$ : $\Z[t^2,t^3]$ est l'anneau de la cubique $y^2 =x^3$, qui présente un point singulier en l'origine. Fin de l'aparté.

Enfin, il est bon de savoir, qu'une fois donnée, en terrain intègre général, la définition du pgcd de deux éléments (ou de plusieurs éléments), on ne peut quasiment rien faire avec cette définition dans un terrain général. Car cette définition ne possède aucune qualité (ce n'est pas la bonne mais cela nous entrainerait trop loin). On ne fait pas des maths avec des définitions mais avec des propriétés.

cc, le fait que $A$ soit inclus dans $\Z[X]$ laisse peu de place au doute.

Question : dans $\Z[X^2,X^3]$, est ce que $X^5, X^6, X^8$ possèdent un ppcm ? Si oui, lequel ?

Et leur vois tu un pgcd ?

Gai Requin
Tout ``simplement''. Encore une fois $\Z[X^2, X^3]$ s'est montré à la hauteur.

En fait, on aurait pu prendre, dans un anneau intègre, deux éléments $a,b$ n'ayant PAS de pgcd.

On les ``coiffe par dessus'' avec le produit $ab$ : i.e. les 3 éléments $(a, b, ab)$ ont $ab$ pour ppcm. Mais en dessous, rien n'a changé : l'ensemble des diviseurs communs à $(a,b,ab)$ c'est aussi l'ensemble des diviseurs communs à $(a,b)$. Donc dire que $(a,b,ab)$ ont $d$ pour pgcd, c'est pareil que de dire que $(a,b)$ ont $d$ pour pgcd.