Matrice tridiagonale symétrique
Bonsoir
On considère une matrice tridiagonale symétrique réelle, c'est-à-dire de la forme :
$$
I_n = \begin{pmatrix}
a_1 & b_1 & 0 & \cdots & 0\\
b_1 & a_2 & b_2 & \ddots & \vdots \\
0 & b_2 & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1} & b_{n-1} \\
0 & \cdots & 0 & b_{n-1} & a_n
\end{pmatrix},
$$ où les $(b_i)_i$ sont non nuls.
Il s'agit de montrer que cette matrice a $n$ valeurs propres réelles distinctes.
Étant symétrique réelle, cette matrice a $n$ valeurs propres réelles. Il s'agit donc de montrer qu'elles sont distinctes.
J'ai un vague souvenir d'un exercice où l'on calculait le déterminant d'une matrice tridiagonale symétrique à l'aide d'une relation de récurrence, mais les diagonales étaient constates. Je ne sais pas si cela peut servir.
Je sollicite donc votre aide pour cet exercice.
Bien cordialement,
Ram
On considère une matrice tridiagonale symétrique réelle, c'est-à-dire de la forme :
$$
I_n = \begin{pmatrix}
a_1 & b_1 & 0 & \cdots & 0\\
b_1 & a_2 & b_2 & \ddots & \vdots \\
0 & b_2 & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1} & b_{n-1} \\
0 & \cdots & 0 & b_{n-1} & a_n
\end{pmatrix},
$$ où les $(b_i)_i$ sont non nuls.
Il s'agit de montrer que cette matrice a $n$ valeurs propres réelles distinctes.
Étant symétrique réelle, cette matrice a $n$ valeurs propres réelles. Il s'agit donc de montrer qu'elles sont distinctes.
J'ai un vague souvenir d'un exercice où l'on calculait le déterminant d'une matrice tridiagonale symétrique à l'aide d'une relation de récurrence, mais les diagonales étaient constates. Je ne sais pas si cela peut servir.
Je sollicite donc votre aide pour cet exercice.
Bien cordialement,
Ram
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
(remarque le nom $I_n$ est mal choisi.)
Si $\lambda$ est une valeur propre double cela revient à dire que $A=I_n- \lambda Id $
vérifie les mêmes hypothèses et son noyau est au moins de dimension 2.
Il s'agit maintenant de résoudre $AX=0$, avec $X=(x_1,\ldots,x_n)^t.$
Commence par résoudre ce système et tu verras que nécessairement $x_1\neq 0$ et que la suite $x_2,\ldots,x_n$ est complètement déterminée par la valeur de $x_1.$ Ce qui signifie que le noyau ne peut être de dimension 2 ou plus.
Je nomme ta matrice de départ $A$
Indication: $A=aI_{n}+B$.
Tu peux diagonaliser $B$ en regardant toute distinguant toute fois les valeurs de $a$
Edit: Erreur de ma part, j'ai lu en diagonale le sujet.
Y aurait-il une contradiction dans la théorie des corps algébriquement clos? :-D
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2123820,2133732#msg-2133732
Je reviens sur mon message d’hier , pour mon niveau actuel la méthode naturelle pour moi c’est d’utiliser la définition.
On va donc étudier le système $AX=\lambda.X$ où X est non nul
NB: je vais regarder la méthode de @side :-D