Matrice tridiagonale symétrique

Bonsoir
On considère une matrice tridiagonale symétrique réelle, c'est-à-dire de la forme :
$$
I_n = \begin{pmatrix}
a_1 & b_1 & 0 & \cdots & 0\\
b_1 & a_2 & b_2 & \ddots & \vdots \\
0 & b_2 & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1} & b_{n-1} \\
0 & \cdots & 0 & b_{n-1} & a_n
\end{pmatrix},

$$ où les $(b_i)_i$ sont non nuls.
Il s'agit de montrer que cette matrice a $n$ valeurs propres réelles distinctes.

Étant symétrique réelle, cette matrice a $n$ valeurs propres réelles. Il s'agit donc de montrer qu'elles sont distinctes.
J'ai un vague souvenir d'un exercice où l'on calculait le déterminant d'une matrice tridiagonale symétrique à l'aide d'une relation de récurrence, mais les diagonales étaient constates. Je ne sais pas si cela peut servir.
Je sollicite donc votre aide pour cet exercice.
Bien cordialement,
Ram