Anneau noethérien
Bonsoir, j'ai besoin d'inspiration pour un exercice. Si $R$ est un anneau (commutatif, unitaire) noethérien, j'ai montré qu'un morphisme d'anneau surjectif $f:R\to R$ est aussi injectif.
Je cherche donc maintenant un anneau (nécessairement non noethérien) $R$ ainsi qu'un morphisme d'anneau surjectif $f:R\to R$ qui n'est pas injectif. Le premier problème que je rencontre est que je ne connais pas d'anneau non noethérien relativement simple. Les seuls exemples que j'ai en tête sont l'anneau des fonctions entières $\mathcal H(\C)$, l'anneau des entiers de $\C$ (que je note $\mathcal O_{\C}$) et l'anneau $\C[X_1,X_2,\ldots ]$.
Si l'un de vous avait quelques pistes, je suis preneur.
Je cherche donc maintenant un anneau (nécessairement non noethérien) $R$ ainsi qu'un morphisme d'anneau surjectif $f:R\to R$ qui n'est pas injectif. Le premier problème que je rencontre est que je ne connais pas d'anneau non noethérien relativement simple. Les seuls exemples que j'ai en tête sont l'anneau des fonctions entières $\mathcal H(\C)$, l'anneau des entiers de $\C$ (que je note $\mathcal O_{\C}$) et l'anneau $\C[X_1,X_2,\ldots ]$.
Si l'un de vous avait quelques pistes, je suis preneur.
Réponses
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Est-il trop tard ou est-ce que $f:\C[X_1,X_2,\dots]\to\C[X_1,X_2,\dots]$, $P(X_1,X_2,X_3,\dots)\mapsto P(X_1,X_1,X_2,X_3,\dots)$ fonctionne ?
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Hmm ce n'est pas injectif en tout cas, je suis encore en train d'essayer de voir pourquoi ce serait surjectif.
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Tu prends l'anneau des suites à valeurs dans $\Z$ et :
$$ u\mapsto (n\mapsto u(n+1))$$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
De mon téléphone comme tu dis avoir résolu le problème je mets une preuve pour les noetheriens.
Si f est un morphisme surjectif mais pas injectif il n'y a pas d'idéal maximal parmi ceux stables par f, inclus dans leur image réciproque.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Merci Christophe, ton exemple fonctionne très bien.
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